1 53⁄m × n1⁄2= 19. Ψάχνουμε τα m και n. Προσοχή, υπόδειξη: Ισως κάποιος να διευκολύνεται να δει την παράσταση αυτή λίγο διαφορετικά: (5 + (3/m)) x (n + (1/2)) = 19.
2 Η Α. και η Λ. είναι αδελφές. Η ηλικία της Α. δίνεται από τον αριθμό ΑΒ και η ηλικία της Λ. από τον αριθμό ΓΔ. Αν κολλήσουμε τους δύο αριθμούς, παίρνουμε τον ΑΒΓΔ που είναι και τέλειο τετράγωνο (δηλαδή η τετραγωνική του ρίζα είναι ακέραιος θετικός αριθμός). Σε 11 χρόνια η Α. θα έχει ηλικία ΕΖ και η Λ. ΗΘ. Αν και τότε σχηματίσουμε τον ΕΖΗΘ, θα είναι και αυτός τέλειο τετράγωνο. Ποια είναι η ηλικία της καθεμίας αυτή τη στιγμή; (Δηλαδή ζητούνται τα ΑΒ και ΓΔ.)
1. Στο μυαλό μας έχουμε μια πλάκα όπως αυτή του ρολογιού, όπου επάνω της είναι να τοποθετηθούν οι αριθμοί από το 1 έως το 12 αλλά όχι απαραίτητα με την σειρά που είναι στα συνηθισμένα ρολόγια. Να δειχθεί ότι όπως και να προσπαθήσουμε να τοποθετήσουμε αυτούς τους αριθμούς, δεν μπορούν να μπουν σε τετράδες που όλες να έχουν άθροισμα μικρότερο του 19. Και αυτό προκύπτει αν σκεφτούμε πως με τους τέσσερις μεγαλύτερους αριθμούς 9, 10, 11, 12 ισχύει πως το άθροισμά τους ανά δύο δίνει αριθμούς από το 19 και επάνω. Αρα δεν μπορούν να τοποθετηθούν κοντά ο ένας στον άλλον. Αν συμβολιστεί με Χ η θέση όπου θα μπορούσε να τοποθετηθεί ένας εκ των τεσσάρων «μεγάλων» και με παύλες οι θέσεις των μικρότερών τους, θα πρέπει οι μεγάλοι να απέχουν μεταξύ τους κατά δυο παύλες: _ Χ _ _ Χ _ _ Χ _ _ Χ _. Αλλά και πάλι φαίνεται πως κάποια τετράδα θα έχει υποχρεωτικά δύο από αυτούς μαζί.
2. Ο Τσαρλς Ντότζσον (1832-1898), πιο γνωστός ως Λιούις Κάρολ και ακόμη περισσότερο ως ο συγγραφέας του βιβλίου «Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων», προτείνει το εξής παιχνίδι για δύο: Ξεκινούν από τον αριθμό 1. Ο καθένας με τη σειρά το λέει έναν αριθμό που όμως δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερος από το 10 και μικρότερος από το 1. Ο κάθε αριθμός προστίθεται στον προηγούμενο. Κερδίζει αυτός που θα πει τον τελευταίο αριθμό ώστε το άθροισμα να γίνει ακριβώς 100. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα με παίκτες τους Α και Β. Α: λέει 4, άρα άθροισμα 1 + 4 = 5, Β: λέει 7, άθροισμα 5 + 7 = 12, Α: 8, άθροισμα 12 + 8 = 20, Β: 3, άθροισμα 20 + 3 = 23. Συνεχίζοντας έτσι προκύπτουν τα αθροίσματα 29, 34, 43, 45, 48, 56, 57, 67, 75, 78, 86, 89, 92, οπότε ο επόμενος που θα μιλήσει προτείνοντας τον αριθμό 8 κερδίζει. Ποιο είναι το κόλπο εδώ για να κερδίζει κάποιος στα σίγουρα; Λοιπόν, δυο πράγματα χρειάζονται. Να αρχίζει ο άλλος πρώτος και για κάθε αριθμό που λέει ο δικός σου αριθμός να είναι το συμπλήρωμά του μέχρι το 11. Π.χ. όταν ο Α είπε 4, ο Β είπε το 7. Πηγαίνοντας έτσι φθάνεις σε ένα σημείο που εκείνος δεν μπορεί να φθάσει στο 100 όποιον αριθμό και να πει.
