1Τρεις ήρωες από τα κόμικς, ο Μπι, η Τζι και ο Ρο, είναι φυλακισμένοι από τον κακό της ιστορίας και αυτός τους έχει κάνει μια ένεση με δηλητήριο που θα τους σκοτώσει σε 5 λεπτά. Για να διασκεδάσει όμως με την κατάσταση έχει βάλει μπροστά τους οκτώ κουτιά: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ. Στο ένα υπάρχει μπουκαλάκι με αντίδοτο για το δηλητήριο, στα άλλα μόνο νερό. Τους δίνει ένα κλειδί που τα ανοίγει όλα αλλά λειτουργεί μόνο για μία φορά. Εξω από κάθε κουτί υπάρχει μια ταινία. Στο κουτί με το αντίδοτο η ταινία είναι εμποτισμένη με μια σταγόνα από αυτό, όχι αρκετή για να γλιτώσει κάποιον από τη δηλητηρίαση αλλά με το εξής χαρακτηριστικό: Αν ακουμπήσει τη γλώσσα του σε αυτή την ταινία, μετά από 3 λεπτά ακριβώς, αισθάνεται μια ελαφριά και ακίνδυνη παράλυση. Πώς μπορούν να σώσουν τους εαυτούς τους οι τρεις ήρωες;
2Εχουμε έναν τετραψήφιο ακέραιο θετικό αριθμό που είναι και τέλειο τετράγωνο. Αυξάνοντας κατά μία μονάδα όλα τα ψηφία του, παίρνουμε έναν άλλον επίσης τέλειο τετράγωνο. Να βρεθούν οι δύο αυτοί αριθμοί.
1. Είστε δάσκαλος ή δασκάλα και θέλετε να πείσετε τους μαθητές σας ότι το άθροισμα της σειράς (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) +… θα είναι ίσο με τη μονάδα. Με ποιον τρόπο θα το κάνατε αυτό; Ενας αρκετά παραστατικός τρόπος θα ήταν ο εξής: Ζωγραφίζουμε στον πίνακα ένα τετράγωνο με πλευρά που θεωρούμε ότι έχει μήκος 1. Χωρίζουμε στη μέση το τετράγωνο, οπότε η καθεμία από τις δύο επιφάνειες που προκύπτουν είναι το μισό του αρχικού τετραγώνου. Τη μία από τις δύο αυτές επιφάνειες τη χωρίζουμε στη μέση. Και αυτή είναι το (1/4) της αρχικής. Συνεχίζουμε να χωρίζουμε την καθεμία από αυτές που προκύπτουν στη μέση και παρατηρούμε ότι βαθμιαία η επιφάνεια του αρχικού τετραγώνου γεμίζει με όλο και μικρότερα κομμάτια τείνοντας να καλύψουν όλη την αρχική επιφάνεια που ήταν ίση με 1, αλλά να μην υπάρχει και περίπτωση να βγουν έξω από αυτήν.
2. Σε ένα πλανητικό σύστημα όπως το δικό μας υπάρχουν 2.021 πλανήτες. Στον καθένα από αυτούς ζει ένας αστρονόμος που παρακολουθεί με το τηλεσκόπιό του τον κοντινότερό του πλανήτη (οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους). Να δειχθεί πως υπάρχει πλανήτης που κανείς δεν τον παρατηρεί. Σε αυτή την κατηγορία προβλημάτων απομονώνουμε ένα ζευγάρι. Ας πούμε τους Α και Β που είναι οι πιο κοντινοί μεταξύ τους. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη να υπάρχει κάποιος άλλος αστρονόμος σε άλλον πλανήτη Γ, που να έχει στρέψει το τηλεσκόπιό του στον έναν από τους δύο. Αυτό μπορεί να συμβαίνει διότι για τον Γ, ο Α ή ο Β να είναι ο κοντινότερός του πλανήτης αλλά ο Γ να μην είναι για τους Α ή Β. Τότε όμως δύο αστρονόμοι παρατηρούν τον ίδιο πλανήτη, άρα κάποιος μένει χωρίς παρατήρηση. Στην άλλη περίπτωση που κανείς άλλος δεν παρατηρεί τον Α ή τον Β τους βγάζουμε έξω από το «παιχνίδι» και πιάνουμε άλλο ζευγάρι. Αν αυτό συνεχιστεί επειδή έχουμε περιττό αριθμό πλανητών κάποιος θα μείνει στο τέλος μόνος του, οπότε αυτός δεν θα έχει κάποιο τηλεσκόπιο στραμμένο επάνω του.
