Πνευματική Γυμναστική

1Κάποιος διάλεξε έναν πενταψήφιο αριθμό και στη συνέχεια του έκοψε ένα ψηφίο (δεν μας δίδεται εξ αρχής από ποια θέση, πρέπει να το βρούμε εμείς) δημιουργώντας έναν τετραψήφιο αριθμό. Το άθροισμα του πενταψήφιου και του νέου τετραψήφιου είναι ο ακέραιος  52.713. Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων που αποτελούσαν τον αρχικό πενταψήφιο αριθμό;

2Το παρακάτω πρόβλημα αποδίδεται στον άγγλο μαθηματικό Χένρι Ερνεστ Ντιούντνι (1857-1930), διάσημο για τους γρίφους του. Το βρήκα λυμένο σε ένα βιβλίο με τρόπο «φακίρικο» έως και λάθος. Πιστεύω πως αξίζει να ασχοληθούμε λεπτομερώς με αυτό: Ενα ποταμόπλοιο αναχωρεί από την αποβάθρα 1 και ανεβαίνει κόντρα στο ρεύμα έως την αποβάθρα 2 μέσα σε 20 ώρες. Στην επιστροφή από τη 2 μέχρι την 1 χρειάζεται μόνον 15 ώρες. Αν δεν υπήρχε το ρεύμα του ποταμού σε πόσες ώρες θα έκανε το ταξίδι από την 1 στη 2;

1. Εχουμε ένα τετράγωνο διαστάσεων (α x α). Οπου το α είναι περιττός ακέραιος θετικός αριθμός. Την επιφάνεια αυτήν τη διαιρούμε σε τετραγωνικά πλακίδια διαστάσεων 1×1. Αφαιρούμε την εξωτερική σειρά με τα πλακίδια 1×1 και από τις τέσσερις πλευρές και τα πλακίδια 1×1 στις δύο διαγώνιες του τετραγώνου. Να βρεθεί η απλούστερη δυνατή έκφραση με τη βοήθεια του α για τον αριθμό των πλακιδίων που έμειναν. Αρχίζουμε την καταμέτρηση των πλακιδίων 1×1 που έχουν αφαιρεθεί.

Σε κάθε διαγώνιο έχουμε από α κομμάτια 1×1, και επειδή ο αριθμός α είναι περιττός, αφαιρώντας τις δύο διαγώνιες έχουμε αφαιρέσει συνολικά α + (α-1) = 2α – 1. Το (α-1) είναι για να μη μετρήσουμε δύο φορές το κεντρικό πλακίδιο. Τώρα στην κάθε εξωτερική πλευρά έχουν μείνει (α-2) πλακίδια των 1×1. Αφαιρώντας και αυτά έχουμε αφαιρέσει συνολικά: (2α – 1) + 4(α-2) = 6α – 9. Αρα έχουν μείνει α² – (6α – 9) που δίνει τελικά (α – 3)^2.

2. Εχουμε τρεις κάρτες. Η πρώτη είναι λευκή και στις δύο όψεις της. Η δεύτερη είναι μαύρη και στις δύο όψεις της ενώ η τρίτη είναι λευκή στη μία όψη και μαύρη στην άλλη. Τις τοποθετούμε σε μια σακούλα και μετά από ένα καλό ανακάτεμα τραβάμε και τοποθετούμε τη μία στο τραπέζι. Η όψη που βλέπουμε είναι μαύρη. Ποια είναι η πιθανότητα και η άλλη όψη να είναι μαύρη; Στις τρεις κάρτες αντιστοιχούν 6 όψεις. Από αυτές οι 3 είναι μαύρες. Οι 2 στις 3 ανήκουν στη μαύρη κάρτα. Αρα αντικρίζοντας τη μαύρη όψη η πιθανότητα και στην άλλη όψη να έχουμε μαύρο χρώμα είναι 2 στις 3 ή (2/3).