1Με 27 κύβους ακμής 1 εκατοστού φτιάχνουμε έναν μεγαλύτερο κύβο 3x3x3. Μπορούμε τον ίδιο κύβο να τον φτιάξουμε χρησιμοποιώντας κάποιους από τους 27 και κάποιον ή κάποιους με διαφορετική ακμή (ακμή = η πλευρά κάθε κύβου. Δόθηκε σε μαθηματικό διαγωνισμό για 11χρονα!);
2Μας δίνουν όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 1.000.000. Και μας ζητούν να υπολογίσουμε το άθροισμα των ψηφίων όλων αυτών των αριθμών. Δηλαδή να αθροίσουμε 1+2+3+4+5+6+7+8+9+(1+0)+(1+1)+(1+2)+…+(9+9+…+9)+1(το 1 αυτό από το 1.000.000).
3Σε ένα εκκρεμές τοίχου, όταν ο ωροδείκτης ήταν ακριβώς στην ώρα του, ο λεπτοδείκτης βρισκόταν πάντα 7 λεπτά πιο μπροστά (από τη θέση 12 που έπρεπε κανονικά να βρίσκεται). Η σύζυγος ζήτησε από τον σύζυγο να το διορθώσει (αλλάζοντας ίσως το μήκος). Ο σύζυγος της λέει: «Το απόγευμα, διότι αυτή τη στιγμή είναι περασμένες 8 (το πρωί) και πρέπει να είμαι κάπου πριν από τις 9». Εκείνη τη στιγμή ωροδείκτης και λεπτοδείκτης φαινόταν να είναι ο ένας ακριβώς επάνω στον άλλον. Τι ώρα ήταν; (Κατόπιν υπολογισμών, παρακαλώ.)
1. Δυο φίλοι βρίσκουν ένα χαρτονόμισμα των 20 ευρώ στον δρόμο. Αντί να το μοιραστούν αποφασίζουν να κάνουν το εξής: Θα γράψει ο καθένας ένα ποσό προσφοράς από 0 έως 20 (π.χ. 3,45 ευρώ) και όποιος θα έχει δώσει την υψηλότερη προσφορά θα πάρει το χαρτονόμισμα, αλλά υποχρεούται να πληρώσει την προσφορά που έκανε ο άλλος. Εσείς τι προσφορά θα κάνατε; (Σε περίπτωση ισοπαλίας μοιράζονται στη μέση τα 20 ευρώ.) Προφανώς αν ο Α δώσει προσφορά κοντά στο μηδέν, αν του Β η προσφορά είναι μεγαλύτερη, ο Α χάνοντας θα πάρει ψίχουλα από το εικοσάρικο. Αν δώσει προσφορά κοντά στο 20 και κερδίσει, αλλά ο Β έχει δώσει προσφορά μεγαλύτερη του 10, πάλι ο Α θα βγει χαμένος. Το πιο σίγουρο είναι προφανώς να δώσει κάτι κοντά στο 9,9.
2. Από ένα σημείο Α εκτός κύκλου φέρουμε δυο εφαπτόμενες στον κύκλο ευθείες που έχουν η καθεμία από το Α μέχρι το αντίστοιχο σημείο επαφής, Β και Γ, μήκος 10 εκατοστά. Αν σε οποιοδήποτε σημείο του κύκλου μεταξύ των Β και Γ φέρουμε μια εφαπτόμενη σχηματίζεται από τις τρεις εφαπτόμενες ένα τρίγωνο. Πόση είναι η περίμετρός του; (Αυτό αξίζει τον κόπο να το προσπαθήσει κάποιος χωρίς να κάνει το σχήμα.) Η απάντηση βασίζεται στο γνωστό από τη σχολική γεωμετρία θεώρημα πως από ένα σημείο εκτός κύκλου οι δυο εφαπτόμενες στον κύκλο που μπορούμε να γράψουμε είναι ίσες. Αν γίνει το σχήμα στο χαρτί, θα φανεί ότι εφαρμόζοντας το θεώρημα αυτό άλλες δυο φορές συνολικά στα Β και Γ η περίμετρος του τριγώνου είναι 10+10=20 εκατοστά.
3. «Ρίχνουμε» επάνω σε ένα φύλλο χαρτί με το μολύβι μας, εντελώς τυχαία, έναν επίσης τυχαίο αλλά πεπερασμένο αριθμό σημείων. Μπορούμε στη συνέχεια πάντα να φτιάχνουμε μια ευθεία που θα χωρίζει ακριβώς στη μέση τον αριθμό των σημείων; (Αν μάλιστα το πλήθος τους είναι περιττός αριθμός, να περνάει και πάνω από ακριβώς ένα και μόνο ένα σημείο.) Εδώ αρκεί να σκεφτούμε πώς ενώνουμε πρώτα όλα τα σημεία μεταξύ τους. Επειδή είναι πεπερασμένος ο αριθμός των σημείων, θα είναι πεπερασμένος και ο αριθμός των ευθειών που τα ενώνουν. Φτιάχνουμε εκτός του συνόλου των σημείων μια ευθεία που δεν είναι παράλληλη με καμία από τις προηγούμενες (υπάρχουν άπειρες διευθύνσεις για μια ευθεία). Στη συνέχεια τη σύρουμε παράλληλα στο εσωτερικό του συνόλου των σημείων. Εκεί θα υπάρχει μια θέση όπου δεν θα τέμνει περισσότερα από ένα σημεία και θα χωρίζει στη μέση το σύνολο.
