Πνευματική Γυμναστική

1Δύο φίλοι βρίσκουν ένα χαρτονόμισμα των 20 ευρώ στον δρόμο. Αντί να το μοιραστούν αποφασίζουν να κάνουν το εξής: Θα γράψει ο καθένας ένα ποσόν, προσφοράς από 0 έως 20 (π.χ. 3,45 ευρώ) και όποιος θα έχει δώσει την υψηλότερη προσφορά θα πάρει το χαρτονόμισμα αλλά υποχρεούται να πληρώσει την προσφορά που έκανε ο άλλος. Εσείς τι προσφορά θα κάνατε; (Σε περίπτωση ισοπαλίας μοιράζονται στη μέση τα 20 ευρώ.)

2Από ένα σημείο Α εκτός κύκλου φέρουμε δύο εφαπτόμενες στον κύκλο ευθείες που έχουν η καθεμία από το Α μέχρι το αντίστοιχο σημείο επαφής, Β και Γ, μήκος 10 εκατοστά. Αν σε οποιοδήποτε σημείο του κύκλου μεταξύ των Β και Γ φέρουμε μια εφαπτομένη σχηματίζεται από τις τρεις εφαπτόμενες ένα τρίγωνο. Πόση είναι η περίμετρός του; (Αυτό αξίζει τον κόπο να το προσπαθήσει κάποιος χωρίς να κάνει το σχήμα.)

3«Ρίχνουμε» επάνω σε ένα φύλλο χαρτί με το μολύβι μας, εντελώς τυχαία, έναν επίσης τυχαίο αλλά πεπερασμένο αριθμό σημείων. Μπορούμε στη συνέχεια πάντα να φτιάχνουμε μια ευθεία που θα χωρίζει ακριβώς στη μέση τον αριθμό των σημείων; (Αν μάλιστα το πλήθος τους είναι περιττός αριθμός, να περνάει και πάνω από ακριβώς ένα και μόνον ένα σημείο.)

1. Τέσσερις μαθηματικοί είναι σε ηλικία κάτω των 70 ετών και η ηλικία του καθενός είναι πρώτος αριθμός. Πόσων ετών είναι ο νεότερος αν ο μέσος όρος της ηλικίας τους είναι τα 60 έτη; Κάποιος ή κάποιοι θα έχουν ηλικία πάνω από τα 60 και μικρότερη από 70. Μεταξύ 60 και 70 πρώτοι αριθμοί είναι οι 61 και 67. Κάτω από τα 60 πρώτοι αριθμοί είναι οι  53, 59. Οπότε ο γηραιότερος, αφού είναι τέσσερις δεν μπορεί να είναι 61, άρα θα είναι σίγουρα 67. Για να ισορροπήσουν οι ηλικίες και να προκύψει ο μέσος όρος 60 θα πρέπει ένας ακόμη να περνάει το 60 και οι δύο άλλοι να είναι 53 και 59. Οπότε ο νεότερος είναι 53 ετών.

2. Παίρνουμε όλους τους θετικούς ακέραιους από το 1 έως το ν (1, 2, 3, 4,… ν) και ανακατεύουμε τη σειρά τους όπως θέλουμε. Ας πούμε ότι τώρα τους έχουμε με τη σειρά: α₁, α₂, α₃, α₄,… α_ν. Φτιάχνουμε τις διαφορές (α₁-1), ( α₂-2),…, ( α_ν-ν). Δημιουργούμε το γινόμενο: Π= (α₁-1)( α₂-2)…( α_ν-ν). Αν το ν είναι περιττός να δείξουμε ότι το γινόμενο Π είναι άρτιος αριθμός. Αφού ο ν είναι περιττός η ακολουθία των ν αριθμών (1, 2, 3,… ν) ξεκινάει και τελειώνει σε περιττό αριθμό. Αρα ο αριθμός των περιττών όρων υπερβαίνει κατά έναν τους άρτιους. Το ίδιο θα συμβαίνει προφανώς και για το σύνολο των α₁, α₂, α₃, α₄,… α_ν. Επομένως στις διαφορές που έχουν δημιουργηθεί (α₁-1)( α₂-2)…( α_ν-ν) θα έχουμε και μία όπου θα είναι δύο περιττοί μαζί. Και επειδή η διαφορά δύο περιττών αριθμών είναι πάντα άρτιος προκύπτει πολλαπλασιασμός με άρτιο που θα δώσει πάλι άρτιο.