1Σε μια δεξαμενή νερού προσαρμόζονται δύο σωλήνες Α και Β. Ο Α μπορεί να γεμίσει τη δεξαμενή σε 1,5 ώρα και ο Β να την αδειάσει στον μισό χρόνο από ό,τι ο Α. Το στόμιο όμως του Β αυτή τη φορά προσαρμόστηκε σε ένα σημείο που απέχει από τον πυθμένα στο 1/3 του ύψους της δεξαμενής. Ανοίγουμε ταυτόχρονα τις δύο αντλίες. Σε πόση ώρα θα γεμίσει η δεξαμενή;
2Εχουμε στη διάθεσή μας ν ίδιους κύβους και προσπαθούμε να φτιάξουμε με αυτούς έναν όσο γίνεται πιο μεγάλο κύβο (χωρίς όμως εσωτερικά κενά). Τελικά διαπιστώνουμε πως μας λείπουν τόσοι όσοι χρειάζονται για μια σειρά ακόμη σε μια από τις πλευρές. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός ν διαιρείται ακριβώς από το 6.
1. Μια μικρή βάρκα σε μια μεγάλη πισίνα είναι φορτωμένη με ένα μεγάλο κομμάτι πάγο. Ρίχνουμε τον πάγο στο νερό. Θα ανέβει, θα κατέβει ή θα μείνει αμετάβλητη η στάθμη του νερού; Οταν λιώσει ο πάγος τι θα συμβεί; Ας ξεκινήσουμε θεωρώντας τη γενική περίπτωση όπου είχαμε στη βάρκα μάζας Μ ένα αντικείμενο με μάζα m. Ο όγκος του τμήματος που είναι βυθισμένο σε νερό πυκνότητας ρ θα είναι V1= (M+m)/ρ. Αν ρίξουμε το αντικείμενο στο νερό τότε για το άθροισμα των δύο προηγούμενων όγκων θα έχουμε ότι V2 = [(Μ/ρ) + (m/d)], όπου d η πυκνότητα του σώματος. Αφαιρώντας τους δύο όγκους (V1 – V2) παίρνουμε τελικά ότι: (V1 – V2)= m[(1/ρ) – (1/d)]. Ο πάγος έχει κατά 10% μικρότερη πυκνότητα από το νερό. Αρα V1 – V2 < 0, οπότε θα ανέβει η στάθμη κατά πολύ λίγο διότι (ανάλογα βέβαια και με τη θερμοκρασία του νερού) ο πάγος βυθίζεται κατά τα 9/10 του όγκου του όταν βρεθεί στο νερό. Και όταν ακόμη έχει λιώσει εντελώς ο πάγος η στάθμη του νερού δεν θα αλλάξει. Οταν είναι σε ισορροπία όπου ο πάγος επιπλέει στο νερό, η άνωση που υφίσταται είναι ίση με το βάρος του. Αρα θα ισχύει η γνωστή σχέση: Mg=dl g V, όπου dl η πυκνότητα του νερού σε αυτή την περίπτωση, Μ η μάζα του πάγου και V ο βυθισμένος στο νερό όγκος του πάγου άρα και ο όγκος του νερού που έχει εκτοπιστεί από τον πάγο. Αρα V=(M/dl). Οταν ο πάγος λιώσει το Μ θα είναι το ίδιο και θα ισχύει πως ο όγκος του νερού που έγινε πάγος είναι V1=(M/dl). Οπότε παρατηρούμε πως οι δύο όγκοι είναι ίδιοι, άρα δεν θα αλλάξει η στάθμη.
2. Να δειχθεί ότι οι ακέραιοι θετικοί αριθμοί από το 1 έως το 15 δεν μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες Α και Β ως εξής: Η Α να περιέχει 13 αριθμούς και η Β να περιέχει 2 αριθμούς, μοιρασμένους έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών της ομάδας Α να είναι ίσο με το γινόμενο των αριθμών της ομάδας Β (μην πάει ο νους σε θεωρία ομάδων και τα παρόμοια). Υποθέτουμε πως μπορούν να χωριστούν και ας είναι x,y οι αριθμοί στην ομάδα Β. Τότε θα ισχύει: (1+2+ … +15) – x + y = xy, οπότε 120 = xy + x + y ή 121 = (x + 1)(y + 1). Ομως τα x,y είναι κάποιοι μεταξύ 1 και 15, άρα θα πρέπει να είναι ίσα με 10 ώστε το γινόμενο να γίνεται 11 επί 11 = 121. Ατοπο διότι οι x,y πρέπει να είναι διαφορετικοί.
