Πνευματική γυμναστική

1Ζητούμε τον πεντηκοστό όρο της εξής ακολουθίας: 5, 6x, 7² x, 8³ x, 9⁴ x,…

2Ενα ζάρι με τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6  στις πλευρές του, ρίχνεται διαδοχικές φορές μέχρις ότου το άθροισμα των αποτελεσμάτων που ερχόταν με κάθε ζαριά να υπερβαίνει το 12. Ζητούμε να βρεθεί αν υποθέσουμε ότι επαναλαμβάνουμε κάποιες φορές τη διαδικασία ποιο άθροισμα πάνω από το 12 έχει τις περισσότερες πιθανότητες να εμφανίζεται. Για την απάντηση δεν χρειάζεται κάποιος να έχει γνώσεις από τη θεωρία των πιθανοτήτων.

1. Επάνω σε μια ευθεία βρίσκονται πέντε σημεία.  Μας δίδονται 10 αποστάσεις αυτών των σημείων μεταξύ τους ανά δύο, και μάλιστα με σειρά μεγέθους: 2, 4, 5, 7, 8, k, 13, 15, 17, 19. Πόσο είναι το k; Τοποθετούμε 5 σημεία (Σ1, Σ2, Σ3, Σ4, Σ5) επάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών αλλά όχι εντελώς τυχαία. Το πρώτο με το τελευταίο, δηλαδή το ζευγάρι (Σ1,Σ5), θα απέχουν 19 μονάδες, τη μεγαλύτερη απόσταση που δίδεται. Στη συνέχεια κάνουμε την παρατήρηση ότι την απόσταση από το Σ1 μέχρι το Σ5 που είναι ίση με 19 έχουμε τη δυνατότητα να την έχουμε ως τρία διαφορετικά αθροίσματα. [(Σ1,Σ2)+(Σ2,Σ5)], [(Σ1,Σ3)+(Σ3,Σ5)], [(Σ1,Σ4),(Σ4,Σ5)]. Από τις δεδομένες αποστάσεις φαίνεται πως δύο από τα παραπάνω αθροίσματα που δίνουν τελικά το 19 θα είναι τα (2,17) και (4,15). Το τρίτο, επειδή δεν υπάρχει άλλο ζευγάρι να δίνει 19, καταλαβαίνουμε ότι θα είναι ή το (k,7) ή το (k,8). Δεν μπορεί να είναι το (5,k) ή το (k,13)  διότι έχει δοθεί πως η τιμή του k βρίσκεται μεταξύ 8 και 13 και δεν βγαίνουν τα αθροίσματα μέχρι το 19. Οπότε η τιμή του k θα είναι ή 11(11+8=19) ή 12(12+7=19). Στη συνέχεια ξεκινούμε αντίθετα. Από το πώς έχουμε τοποθετήσει έως τώρα τα σημεία στην ευθεία προκύπτει ότι ξεκινώντας από το Σ5 μέχρι το Σ2 η απόσταση είναι 17. Αυτή μπορεί να αποτελείται από τα [(Σ5,Σ4)+(Σ4,Σ2)] ή από τα [(Σ5,Σ3)+(Σ3,Σ2)]. Το ένα άθροισμα μπορεί να αντιστοιχεί στο (4,13) αλλά το άλλο θα είναι ένα από τα (5,k), (7,k), (8,k). Αυτά για να δίνουν άθροισμα 17 απαιτούν τιμές για το k αντίστοιχα 12, 10, 9. Πριν είχε βρεθεί ότι το k θα είναι ή 12 ή 11, άρα τελικά θα πρέπει να k=12.

2. Δύο τρένα ξεκινούν στις 7 το πρωί το ένα από τον σταθμό Α για να φθάσει στον σταθμό Β και το άλλο από τον σταθμό Β για να φθάσει στον Α. Οι σταθμοί είναι σε ευθεία γραμμή και τα τρένα κινούνται με σταθερές ταχύτητες. Το πρώτο τρένο φθάνει στον προορισμό του σε 8 ώρες και το δεύτερο σε 12 ώρες. Ποια χρονική στιγμή συναντά το ένα το άλλο; Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για τη λύση, ένας από τους πλέον κατανοητούς κατά τη γνώμη μας είναι ο εξής: Αφού έχουν σταθερή ταχύτητα, το πρώτο τρένο κάθε ώρα καλύπτει το (1/8) της διαδρομής και το δεύτερο το (1/12). Επομένως κάθε ώρα η απόσταση μεταξύ τους μειώνεται κατά (1/8)+(1/12)=(5/24). Εδώ αν θέλουμε να είμαστε ακόμα πιο αναλυτικοί, εξηγώντας ίσως το πρόβλημα σε μικρούς μαθητές, το απλούστερο είναι να καταφύγουμε στη μέθοδο των τριών. Λέμε ότι σε 1 ώρα καλύπτονται τα (5/24) της απόστασής τους, σε πόση ώρα θα καλυφθούν τα (24/24); Και προκύπτει ότι αυτό θα γίνει σε (24/5) ώρες, δηλαδή σε 4 ώρες και 48 λεπτά (συμμιγείς αριθμοί).