1Ενα τεράστιο κομμάτι ορθογώνιο χαρτί πάχους (1/10) του χιλιοστού αρχίζουμε να το διπλώνουμε ξανά και ξανά πενήντα φορές. Πόσο θα είναι το πάχος της κατασκευής που θα προκύψει;

2Ας φανταστούμε ένα ορθογώνιο τετραγωνικό πλέγμα συντεταγμένων, δηλαδή με σημεία που να απέχουν κατά 1 μονάδα οριζόντια και κάθετα. Διαλέγουμε πέντε σημεία τυχαία επάνω στους κόμβους του πλέγματος. Αν ενώσουμε όλα τα σημεία ανά δύο μεταξύ τους τότε είναι σίγουρο πως τουλάχιστον ενός ευθύγραμμου τμήματος το μέσον θα συμπέσει με κόμβο του πλέγματος. Γιατί;

1. Εχουμε τρία ζάρια, το καθένα με αρίθμηση από το 1 έως το 6. Ρίχνουμε μια ζαριά και με τα τρία ταυτόχρονα πολλαπλασιάζοντας στην συνέχεια τους τρεις αριθμούς που ήρθαν. Ποια είναι η πιθανότητα το γινόμενο να είναι περιττός (=μονός) αριθμός; Η λύση εδώ στηρίζεται στην παρατήρηση πως για να προκύψει περιττός αριθμός πολλαπλασιάζοντας τα αποτελέσματα από το ρίξιμο των ζαριών πρέπει να έχουν έλθει και στα τρία περιττοί (=μονοί) αριθμοί. Αλλά για το κάθε ένα ζάρι οι μονοί αριθμοί είναι οι μισοί (1, 3, 5), άρα η πιθανότητα σε ένα ζάρι να έλθει κάποιος περιττός αριθμός είναι (1/2). Αρα και για τα τρία μαζί θα είναι: (1/2)x(1/2)x(1/2)= (1/8).


2. Σε μια πολύ παλιά εποχή τις μπάλες για τα κανόνια τις έστηναν σε μορφή πυραμίδας. Παρατηρώντας τον εχθρό με το τηλεσκόπιο κάποια φορά οι… άλλοι είδαν ότι είχαν τοποθετηθεί σε πυραμίδα όπου το κάθε στρώμα ήταν ένα τετράγωνο. Ερχεται όμως ένας και φέρνει άλλη μια μπάλα, οπότε χαλούν την πυραμίδα αυτήν για να φτιάξουν μιαν άλλη όπου το κάθε στρώμα της ήταν τρίγωνο. Πόσες μπάλες διέθετε ο εχθρός; Αρχίζουμε να μετράμε από την κορυφή προς τη βάση και για τις δύο πυραμίδες. Σε αυτήν με τριγωνική βάση οι μπάλες είναι 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28… ενώ στην άλλη είναι 1, 4, 9, 16, 25… Παρατηρούμε ότι στη μία περίπτωση σε κάθε επίπεδο αυξάνονται οι μπάλες κατά 2, 3, 4, 5… ενώ στην άλλη κατά 3, 5, 7, 9… Ετσι προχωρώντας ακόμη περισσότερο, αθροίζοντας στην τριγωνική μέχρι το 21 βρίσκουμε: 1+3+6+10+15+21=56 και στη με τετράγωνη βάση: 1+4+9+16+25=55. Εκεί βλέπουμε πως έχουν διαφορά 1 μπάλα. Αρα είχαν τελικά 56. Αν θέλει κάποιος να μην το ψάχνει πρακτικά υπάρχουν και τύποι: Για την τριγωνική πυραμίδα είναι (1/6)ν(ν+1)(ν+2) ενώ για τη με τετραγωνική βάση (1/6)ν(ν+1)(2ν+1).