1Μας δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ίση με δύο μονάδες μήκους. Με κέντρα καθεμία από τις τρεις κορυφές του γράφουμε κύκλους με ακτίνα 1 μονάδα μήκους. Στο εσωτερικό του τριγώνου προκύπτει μια επιφάνεια που ορίζεται από τα τρία σημεία επαφής των κύκλων ανά δύο. Πώς θα υπολογίσουμε το εμβαδόν αυτής της επιφάνειας;
2Οι πίτσες πάνε και έρχονται. Ενα πρόβλημα προκύπτει με το κόψιμο σε κομμάτια από ευθύγραμμες μαχαιριές. Με μία την κόβουμε στα δύο, με δύο μαχαιριές το μάξιμουμ είναι 4 κομμάτια, με την τρίτη μαχαιριά, αν αποφύγουμε το σημείο τομής των δύο προηγούμενων, μπορεί να προκύψουν και 7 κομμάτια. Αν Μ είναι οι μαχαιριές και Κ τα κομμάτια που προκύπτουν, μπορούμε να βρούμε μια σχέση μεταξύ των Κ και Μ; (Υπόδειξη: προχωρούμε λίγο περισσότερο με το μυαλό μας, τουλάχιστον μέχρι τις 6 μαχαιριές και παρατηρούμε την αύξηση των κομματιών. Παίρνουμε τις διαφορές στον αριθμό των κομματιών που προκύπτουν και τις διαφορές των διαφορών…)
1. Είχαμε μια (ελαττωματική) ζυγαριά με τους δύο δίσκους, έναν αριστερά, έναν δεξιά, αλλά ενώ έχουμε σταθμά ξέρουμε πως οι βραχίονες είναι άνισοι. Καταφέρνουμε παρ’ όλα αυτά πριν από μια ζύγιση να ισορροπούν οι δίσκοι. Ομως έστω κι έτσι, αφού έχουμε σταθμά μπορούμε να ζυγίζουμε ό,τι θέλουμε και να βρούμε σωστά το (άγνωστο) βάρος του. Αυτό επιτυγχάνεται με τη λεγόμενη μέθοδο της διπλής ζύγισης. Βάζουμε το αντικείμενο με το άγνωστο βάρος Β στον έναν δίσκο και το εξισορροπούμε με σταθμά βάρους Β2. Στη συνέχεια βάζουμε το αντικείμενο στον άλλον δίσκο και εξισορροπούμε το βάρος του με σταθμά βάρους Β1. Αν τα μήκη των βραχιόνων είναι l1, l2, στην πρώτη περίπτωση θα ισχύει για την ισορροπία του ζυγού: Β x l1 = Β2 x l2 και στη δεύτερη Β1 x l1 = Β x l2. Διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει ότι Β2 = Β1 x Β2 και έτσι έχει εξαλειφθεί το σφάλμα των βραχιόνων. Με το πραγματικό βάρος να είναι η τετραγωνική ρίζα του γινομένου των δύο ζυγίσεων.
2. Ενας παππούς γράφει στη διαθήκη του: Τώρα που η κόρη μου είναι έγκυος, σε περίπτωση που γεννήσει αγόρι, σε αυτό θα ανήκουν τα δύο τρίτα της περιουσίας μου και στην κόρη μου το υπόλοιπο ένα τρίτο. Αν γεννήσει κορίτσι, τότε αυτό θα πάρει το ένα τέταρτο της περιουσίας και η κόρη μου τα υπόλοιπα τρία τέταρτα. Τελικά ο παππούς συγχωρέθηκε και η κόρη του γέννησε δίδυμα, ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Πώς θα μοιραστεί η περιουσία; (Υποθέτουμε πως η συνολική αξία της περιουσίας του ήταν Π.) Αφετηρία θα είναι (τι άλλο) η θέληση του παππού. Δηλαδή η κόρη του αν γεννήσει αγόρι να πάρει τα μισά από το νεογέννητο και αν γεννήσει κορίτσι να πάρει το τριπλάσιο από το κορίτσι. Αν χ είναι το μερίδιο της κόρης, ψ το μερίδιο του αγοριού και ω το μερίδιο του κοριτσιού, με την περιουσία να είναι Π έχουμε χ + ψ + ω = Π. Επίσης χ = (ψ/2) και χ = 3ω. Αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε ότι χ = (3/10)Π. Αρα ψ = (6/10)Π και ω = (1/10)Π.
