1Ενας άνθρωπος με ύψος 2 μέτρα αρχικά στέκεται μπροστά από έναν φανοστάτη που έχει ύψος 6 μέτρα, σε απόσταση x από αυτόν. Η σκιά του εκείνη τη στιγμή έχει μήκος s. Αρχίζει να περπατάει με ταχύτητα 1 μέτρο το δευτερόλεπτο, απομακρυνόμενος από τον φανοστάτη. Ζητούμε την ταχύτητα μεταβολής του μήκους της σκιάς του και την ταχύτητα που με αυτή προχωρεί η κορυφή της σκιάς. Χωρίς να κάνει κάποιος τις πράξεις, περιμένει οι δύο αυτές ταχύτητες να είναι ίσες ή άνισες;
2Εχω ρολόι τοίχου στο σπίτι αλλά όχι ρολόι χεριού ή κινητό. Κάποια στιγμή σταμάτησε γιατί ξέχασα να το κουρδίσω, άρα δεν ήξερα τη σωστή ώρα. Επρεπε να φύγω για το σπίτι ενός φίλου μου που είχαμε συνάντηση και σκέφτηκα ότι πρέπει να κάνω κάτι ώστε στον γυρισμό να ξέρω τη σωστή ώρα (έστω στο περίπου). Πήγα εκεί και μου έκανε παρατήρηση διότι είχα αργήσει περίπου μισή ώρα (αναμενόμενο αφού το ρολόι του σπιτιού μου είχε σταματήσει). Επιστρέφοντας από τον ίδιο δρόμο, μπορούσα πλέον να βάλω και το δικό μου ρολόι αρκετά κοντά στη σωστή ώρα. Πώς το κατάφερα;
1. Εχουμε έναν δρομέα που τρέχει τα 100 μέτρα σε 10 δευτερόλεπτα, δηλαδή η ταχύτητά του είναι σταθερά 10 μέτρα το δευτερόλεπτο, και θα κάνουμε τη σύγκριση με ένα ρομπότ που μπορεί να τρέχει με ένα εύρος ταχυτήτων από τα 5 μέτρα το δευτερόλεπτο έως και τα 16 μέτρα το δευτερόλεπτο. Αν ήταν να ποντάρουμε σε κάποιον από τους δύο, πώς διαμορφώνονται τα ποσοστά επιτυχίας ανάλογα με τις ταχύτητες που μπορεί να έχει το ρομπότ; Αν το ρομπότ τρέχει με ταχύτητες μεγαλύτερες από τα 10 μέτρα ανά δευτερόλεπτο έως και τα 16 μέτρα ανά δευτερόλεπτο, θα περνάει τον άνθρωπο. Αν όμως τρέχει με ταχύτητες από τα 5 έως και λίγο πριν από τα 10 μέτρα ανά δευτερόλεπτο, θα χάνει. Αν υποθέσουμε πως διατρέχει όλο το φάσμα των (με ακέραιους αριθμούς) ταχυτήτων ομαλά, από τις 11 διαφορετικές ταχύτητες που μπορεί να έχει κάθε στιγμή, με τις 5 χάνει και με τις άλλες 5 κερδίζει [αφήνουμε τη 10η ως απροσδιόριστη, οπότε το ποντάρισμα είναι εντελώς στο πενήντα – πενήντα μεταξύ τους (5/11) και (5/11) αντίστοιχα].
2. Σε μια πολύ παλαιότερη εποχή κάποιος έμπορος διέθετε 11 χρυσές σφαίρες που ζύγιζαν αντίστοιχα 1, 2, 3… 11 κιλά. Πήγε στο παλάτι να πουλήσει κάποια από αυτές. Εκεί η δύσπιστη βασίλισσα του ζήτησε να αγοράσει μια οποιαδήποτε αλλά έπρεπε να χρησιμοποιήσουν μια δική της ζυγαριά, από εκείνες με τα δύο σκέλη, χωρίς όμως να διαθέτει τα απαραίτητα σταθμά. Επiπλέον αν έβαζες σε έναν από τους δίσκους βάρος μεγαλύτερο από 11 κιλά, ο ζυγός καταστρεφόταν. Με ποιοn τρόπο και με πόσες το πολύ ζυγίσεις ο έμπορος (που γνωρίζει ποια σφαίρα ζυγίζει πόσο) μπορεί να πείσει τη δύσπιστη βασίλισσα για το ακριβές βάρος μιας από τις σφαίρες, ώστε αυτή να αγοραστεί από το παλάτι; Ποια μπορεί να είναι αυτή η σφαίρα; Αν ο έμπορος τοποθετήσει στον έναn δίσκο (που λέει ο λόγος βέβαια) τέσσερις σφαίρες με βάρος 1, 2, 3, 4 κιλά (εκείνος γνωρίζει ποια είναι πoια) ή 1, 2, 3, 5 κιλά, τους μόνους συνδυασμούς που με τέσσερις σφαίρες στον ίδιο δίσκο αυτός δεν θα καταρρεύσει, η βασίλισσα θα ξέρει ότι οι τρεις από τις σφαίρες έχουν βάρη 1, 2, 3 κιλά και η τέταρτη 4 ή 5 κιλά. Αν λοιπόν ο έμπορος τοποθετήσει μια από τις σφαίρες, αυτή των 10 κιλών ή των 11 κιλών, ή θα έχουμε ισορροπία ή θα έχουμε μια απόκλιση προς τη μια πλευρά. Στη συνέχεια αφαιρεί τις τέσσερις σφαίρες και στη θέση τους τοποθετεί μία μόνο, αυτή των 10 ή των 11 κιλών που δεν συμμετείχε στην προηγούμενη ζύγιση. Ανάλογα προς τα πού θα κλίνει η ζυγαριά, θα γνωρίζει και η βασίλισσα πως η μια σίγουρα είναι των 10 κιλών και η άλλη των 11 κιλών. Aρα δύο ζυγίσεις αρκούν. Υστερα από αυτή την ανάλυση, μπορούμε να σκεφτούμε ότι και με μία ζύγιση θα γινόταν η δουλειά;
