1Ζητούμε τρεις αριθμούς που το άθροισμά τους να είναι τέλειο τετράγωνο και τα αθροίσματά τους ανά δύο να είναι επίσης τέλεια τετράγωνα (Υπόδειξη: υπάρχουν περισσότερες από μία τέτοιες τριάδες).
2Την ίδια στιγμή από τα δύο άκρα μιας ευθείας ξεκινούν δύο αυτοκίνητα. Σκόπευαν να συναντηθούν στο μέσον της διαδρομής τους αλλά επειδή ο Β οδηγούσε με ταχύτητα κατά 100 χιλιόμετρα την ώρα μεγαλύτερη από του Α συναντήθηκαν 120 χιλιόμετρα πέρα από τη μέση, προς την πλευρά του Α. Οταν συναντήθηκαν ο ταχύτερος οδηγός είπε στον άλλον: Αν ήξερα ότι πηγαίνεις τόσο σιγά θα ξεκινούσα μία ώρα αργότερα και τότε θα είχαμε συναντηθεί στη μέση. Πόση είναι η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων εκκίνησης;
1. Δύο συμφοιτητές θέλησαν να αγοράσουν ένα βιντεοπαιχνίδι. Κοίταξαν τι χρήματα είχαν και διαπίστωσαν πως δεν μπορούσαν να το αγοράσουν. Διότι ο ένας είχε 2 ευρώ λιγότερα από όσο έκανε το παιχνίδι και ο άλλος, ακόμη χειρότερα, είχε 32 ευρώ λιγότερα. Αν υποθέσουμε πως η τιμή του παιχνιδιού ήταν ένας ακέραιος αριθμός σε ευρώ, ποια ήταν αυτή; Ξεκινούμε κάνοντας την υπόθεση ότι αν η τιμή του παιχνιδιού είναι Τ οπότε τα χρήματα που έχουν στην τσέπη τους το μέγιστο εκείνη τη στιγμή μπορεί να είναι αντίστοιχα: Τ – 32 και Τ – 2. Αρα και οι δύο μαζί έχουν (Τ – 32) + (Τ – 2) = 2Τ – 34. Αυτό το ποσόν όμως και πάλι είναι μικρότερο από Τ, δηλαδή 2Τ – 34 < Τ άρα Τ < 34. Επειδή όμως αν ο ένας είχε τα 32 ευρώ θα το αγόραζαν, πρέπει να είναι και μεγαλύτερο από 32, άρα η τιμή πρέπει να είναι μεταξύ 32 και 34, δηλαδή 33 ευρώ.
2. Το 1937 ένας ονόματι Σάμιουελ Κρίγκερ νόμισε κάποια στιγμή ότι είχε βρει μια εξίσωση που διέψευδε το Θεώρημα του Φερμά. Η εξίσωση ήταν η εξής: 1324ν +731ν = 1961ν . Κάποιοι τον πίστεψαν στην αρχή αλλά μια προσεκτική εξέταση της εξίσωσης δείχνει ότι δεν μπορεί τα δύο μέλη να είναι ίσα. Γιατί; Η απάντηση έχει σχέση με το ότι ένας αριθμός που τελειώνει σε 4 σε όποια δύναμη και να υψωθεί θα έχει ως τελευταίο ψηφίο ή 4 ή 6. Οποιος αριθμός λήγει σε 1 σε όποια δύναμη και να υψωθεί θα λήγει πάλι σε ένα. Αρα η πρόσθεση στο αριστερό μέλος θα δίνει τελευταίο ψηφίο 7 ή 5 ενώ στο δεξιό μέλος θα έχουμε πάντα 1, άρα κάποιο λάθος υπάρχει στην εξίσωση.
