1 Διαθέτουμε δύο ξύλινους κύβους και θέλουμε στρέφοντάς τους κατάλληλα να δείχνουν τις ημέρες του κάθε μήνα από το 01, 02, 03…, 09 κ.λπ. έως το 31. Ποιους αριθμούς θα πρέπει να κολλήσουμε στις έδρες του κάθε κύβου ώστε να καλύπτουμε όλες τις ημέρες;
2 Σε μια πολυκατοικία ζουν μόνον ζευγάρια γονιών (δεν υπάρχουν δηλαδή μονογονεϊκές οικογένειες). Για τα παιδιά των οικογενειών αυτών είναι γνωστό πως κάθε οικογένεια έχει τουλάχιστον ένα παιδί, κάθε παιδί έχει ακριβώς δύο γονείς, κάθε αγόρι έχει και αδελφή ή αδελφές, ενώ συμβαίνει επίσης τα αγόρια να είναι περισσότερα από τα κορίτσια. Παππούδες και γιαγιάδες δεν ζουν στην πολυκατοικία αυτή. Είναι δυνατόν να ισχύει ότι ζουν περισσότεροι ενήλικοι από ό,τι παιδιά στην πολυκατοικία;
1. Είχαμε ένα γυάλινο μπουκάλι, που είναι κυλινδρικό στο μεγαλύτερο μέρος του αλλά λίγο πριν το στόμιο, εκεί γύρω στα δύο τρίτα του ύψους του, αρχίζει να στενεύει. Είναι σφραγισμένο και στο εσωτερικό του υπάρχει νερό που φθάνει λίγο παραπάνω από το μισό του ύψους του. Αν διαθέτουμε μόνον έναν χάρακα πώς μπορούμε να βρούμε με ακρίβεια τον όγκο του μπουκαλιού αυτού; Το να βρούμε τον όγκο του νερού είναι σχετικά απλό. Το τοποθετούμε όρθιο στο τραπέζι στην κανονική του στάση, μετρούμε την ακτίνα ή τη διάμετρο του πυθμένα και το ύψος του νερού και από τον τύπο του όγκου του κυλίνδρου (εμβαδόν βάσης επί το ύψος) βρίσκουμε τον όγκο του νερού που θεωρούμε πως είναι κατά προσέγγιση και ο όγκος του μπουκαλιού έως εκεί (διότι θεωρούμε πως τα γυάλινα τοιχώματα έχουν αμελητέο πάχος). Για να βρούμε τον υπόλοιπο όγκο που δεν είναι ένα κανονικό στερεό γυρίζουμε εντελώς ανάποδα το μπουκάλι. Ο κενός χώρος είναι και πάλι ένας κανονικός κύλινδρος και για να βρούμε τον όγκο του μετρούμε με τον ίδιο τρόπο το ύψος από τον πυθμένα έως τη στάθμη του νερού. Ο όγκος που βρίσκουμε προστίθεται στον προηγούμενο και δίνει τον συνολικό όγκο.
2. Πόσα ζευγάρια ρητών (α,β) υπάρχουν (από λάθος γράφτηκε «ακεραίων», και ζητούμε συγγνώμη), τέτοια ώστε να συμβαίνει ταυτόχρονα: το άθροισμα α + β, το γινόμενο α x β και το κλάσμα (α/β) να έχουν την ίδια τιμή; Πριν ο νους μας πάει σε χιλιάδες ζευγάρια ας αρχίσουμε ήπια. Κλασική διερεύνηση. Το β δεν μπορεί να είναι ίσο με μηδέν. Αφού α + β = αβ το α επίσης δεν μπορεί να είναι ίσο με το 0 διότι τότε προκύπτει από την προηγούμενη σχέση ότι β = 0 που ήδη το αποκλείσαμε. Θα ισχύει επίσης ότι α x β = (α/β) άρα α x β2 = α οπότε β2 = 1 άρα β = 1 ή β = -1. Αν β = 1 αυτό δίνει α + 1 = α που είναι αδύνατον. Αν β = -1 τότε α – 1 = -α άρα α = 1/2. Το (1/2, -1) είναι το μοναδικό ζευγάρι που ικανοποιεί τα ζητούμενα.
