«Ενιωθα μεγάλο φόβο για τα Μαθηματικά. Ο δάσκαλος εννοούσε να προσποιείται ότι η Αλγεβρα ήταν κάτι το πολύ φυσικό, κάτι που μπορούσε να το πάρει κάποιος ως δοσμένο, ενώ εγώ δεν ήξερα καλά-καλά τι ήταν στην πραγματικότητα οι αριθμοί. Δεν ήταν λουλούδια, ούτε ζώα ούτε απολιθώματα. Δεν ήταν τίποτα που να μπορεί να το φανταστεί κάποιος… Τα, α, β, γ, φ, χ, ψ, δεν ήταν συγκεκριμένα και δεν μου εξηγούσαν τίποτα για την ουσία των αριθμών. Αλλά εκείνο που με έκανε να αγανακτώ περισσότερο ήταν η πρόταση: Αν α = β και β = γ, τότε α = γ, έστω και αν, εξ ορισμού, το α σήμαινε κάτι το διαφορετικό από το β και αφού ήταν διαφορετικό, δεν μπορούσε να εξισωθεί με το β, πολύ λιγότερο με το γ».
Δύσκολα θα πίστευε κανείς ότι αυτός που εκφράζεται έτσι για τους αριθμούς, και μάλιστα στην προχωρημένη ηλικία των 85 ετών, είναι κάποιος που ως ενήλικος ασχολήθηκε με μεγάλη επιμονή μαζί τους. Ομως στο βιβλίο του «Memories, Dreams, Reflections» σε εκείνο το σημείο ζωγραφίζει με αδρές μολυβιές το δράμα και πολλών άλλων παιδιών. Μια αναφορά στην επαφή τους, σε αρκετά τρυφερή ηλικία, με κάτι λειτουργικά πολύ σκληρό όπως είναι οι μαθηματικές έννοιες και κυρίως οι πράξεις με τους αριθμούς, όπου ή θα βρεις το σωστό αποτέλεσμα ή θα νιώσεις ανίκανος, διαφορετικός, ανεπίδεκτος της συγκεκριμένης γνώσης.
Ο λόγος για τον Καρλ Γιουνγκ (1875-1961), τον ελβετό ψυχίατρο που αργότερα άλλαξε στάση απέναντι στους αριθμούς. Και έφθασε να πιστεύει ότι οι λεγόμενοι φυσικοί αριθμοί (1, 2, 3,…) βρίσκονται στο ανθρώπινο υποσυνείδητο εκ γενετής «εγκατεστημένοι» ως αρχέτυπα.
Η «διάγνωση» της PISA
Από την αρχή της εφετινής σχολικής χρονιάς φαίνεται ότι ετοιμαζόμαστε για μια δύσκολη περίοδο: τα αποτελέσματα της αποκαλούμενης «ελληνικής PISA», τα οποία δημοσιοποιήθηκαν στα τέλη του καλοκαιριού, δεν ήταν τα καλύτερα. Πρόκειται για διεξαγωγή σε εθνικό επίπεδο εξετάσεων διαγνωστικού χαρακτήρα για τους μαθητές και τις μαθήτριες της έκτης τάξης των Δημοτικών σχολείων και της Γ’ τάξης των Γυμνασίων. Συνολικά σε 554 σχολεία για μαθητές της ΣΤ’ Δημοτικού και της Γ’ Γυμνασίου, με τη συμμετοχή 11.411 μαθητών. Τα αποτελέσματα συλλέγονται ανώνυμα και δεν συνεκτιμώνται στους βαθμούς των μαθητών, ενώ οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν ερωτήσεις με την εξής ιδιαιτερότητα: Από τις τέσσερις προσφερόμενες απαντήσεις, μία είναι η ορθή, μία είναι λιγότερο ορθή(!) και δύο εντελώς λάθος. Αυτό το «λιγότερο ορθή» προφανώς ελαφραίνει το τελικό αποτέλεσμα αν η ζυγαριά γέρνει προς την κακή πλευρά. Και η ζυγαριά, παρ’ όλες τις προσπάθειες, έδειξε ότι στα Δημοτικά το 66,5% των απαντήσεων στα Μαθηματικά ήταν σωστές ενώ στο Γυμνάσιο στο ίδιο μάθημα ήταν 45,5%. Κάτι που υπογραμμίζει μια πολύ ανησυχητική τάση: από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο τα πράγματα χειροτερεύουν ενώ αμέσως μετά τη Γ’ Γυμνασίου, στον δρόμο προς την Α’ Λυκείου, είναι πιστοποιημένο πως υψώνεται στα Μαθηματικά κυριολεκτικά ένα πολύ απότομο τείχος αφού η ύλη δυσκολεύει αισθητά. Πώς λοιπόν θα τα βγάλει πέρα μέχρι τη Γ’ Λυκείου, τουλάχιστον αυτό το (100-45,5=) 54,5%, δηλαδή οι περισσότεροι από τους μισούς σημερινούς μαθητές;
Μαθηματική σκέψη
Ζητήσαμε τη γνώμη του κ. Δημήτρη Γαβαλά, που είναι μαθηματικός με πολλά χρόνια εμπειρίας στην τάξη, συγγραφέας σημαντικών βιβλίων γύρω από το θέμα και με δύο διδακτορικούς τίτλους (ένας από αυτούς για τη διδασκαλία των Μαθηματικών), ενώ έχει διατελέσει και για αρκετά χρόνια σχολικός σύμβουλος.
Πρώτα τον ρωτήσαμε αν υπάρχει αυτό που αποκαλείται «μαθηματική σκέψη» και αν ναι, αν αυτό είναι έμφυτο ή μπορεί να αναπτυχθεί μέσα από την κατάλληλη εκπαίδευση. Κατά τη γνώμη του λοιπόν, «κανένας δεν μιλάει, για παράδειγμα, για βιολογική σκέψη ή φιλολογική σκέψη, μιλάει όμως για μαθηματική σκέψη. Αυτή η παρατήρηση, που την έχουν κάνει πολλοί, κάτι δείχνει. Υπάρχει πράγματι μαθηματική σκέψη, η οποία πρέπει να οφείλεται σε κάποια «εύφορη» προς τούτο λειτουργία του εγκεφάλου. Αυτά τα θέματα τα ερευνούν σήμερα άνθρωποι, όπως για παράδειγμα ο Stanislas Dehaene στο βιβλίο του «The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics», οι οποίοι ασχολούνται με τη Νευροφυσιολογία αξιοποιώντας απεικονιστικές μεθόδους του εγκεφάλου όπως η λειτουργική τομογραφία μαγνητικού συντονισμού (fMRI). Φυσικά και κάθε άλλος, που δεν έχει έμφυτο το ταλέντο αυτό και δεν είναι χαρισματικός, μπορεί με τη μάθηση να γίνει καλός μαθηματικός ή να μάθει να μορφοποιεί τη σκέψη του με μαθηματικό-λογικό τρόπο, να σκέπτεται δηλαδή ορθολογικά. Τίποτα, τελικά, δεν εξαρτάται μόνο από το περιβάλλον, εξαρτάται από την αλληλεπίδραση αυτού που είναι κάποιος εκ γενετής με το σχετιζόμενο περιβάλλον».
Ξεκίνημα από την ίδια ευθεία
Αν όμως το αρχέτυπο του αριθμού βρίσκεται στο ασυνείδητο των ανθρώπων, αυτό σημαίνει πως όλοι ξεκινούν από την ίδια ευθεία (η κληρονομικότητα εδώ δεν υπάρχει), οπότε μήπως δεν πρέπει να μιλάμε για ανθρώπους «προικισμένους» με μαθηματικές ικανότητες εκ των προτέρων; Η απάντηση του δρος Γαβαλά εδώ ήταν η εξής: «Η εγκεφαλική δομή, ανεξάρτητα από ατομικές ή φυλετικές μικροδιαφορές, είναι παντού η ίδια, το ίδιο συμβαίνει και με τη λειτουργία της. Ο Stanislas Dehaene λέει ότι δεν υπάρχει ελληνικό, γαλλικό ή αμερικανικό «π», αλλά ένα π=3,14… και αυτό γιατί πράγματι ο εγκέφαλος είναι παντού ο ίδιος και λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο, άρα «παράγει» το ίδιο «π» παντού και πάντα. Η αντίστοιχη ψυχική έκφραση αυτού του βιολογικού γεγονότος, δηλαδή της ταυτότητας της εγκεφαλικής δομής και λειτουργίας, είναι το γεγονός της ύπαρξης του συλλογικού ασυνειδήτου. Δομικά στοιχεία του συλλογικού ασυνειδήτου είναι ακριβώς τα αρχέτυπα. Δηλαδή μοντέλα ψυχο-νοητικής συμπεριφοράς αντίστοιχα των ενστίκτων της βιολογικής συμπεριφοράς. Ετσι πράγματι ξεκινάμε, ως προς αυτή την έννοια, από το ίδιο σημείο. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι δεν υφίστανται οι ατομικές διαφορές λόγω ιδιοσυστασίας και σχετιζόμενου περιβάλλοντος. Εκείνο που παίζει ρόλο είναι το πώς διάκειται κάποιος απέναντι στο ουδέτερο και συνήθως παθητικό αρχέτυπο, το πώς το «εισπράττει», ποια είναι η στάση του, η οποία συνήθως είναι ασυναίσθητη. Επιπλέον παίζει ρόλο και το αν εξαιτίας εγκεφαλικής λειτουργίας είναι ένα χαρισματικό άτομο στα Μαθηματικά ή σε κάποιον άλλον τομέα, όπως στην τέχνη, στην επιστήμη κ.τ.λ. Ετσι ή αλλιώς πάντως χρειάζεται εξάσκηση για να προχωρήσει κάποιος».
Το νόημα των εξισώσεων
Η επόμενη παρατήρησή μας ήταν σχετική με το ότι παλαιότερα σε όλο το Δημοτικό πέρα από τις 4 πράξεις με θετικούς αριθμούς και στην έκτη με προβλήματα πρακτικής αριθμητικής (τόκου, υφαίρεσης, μείξεως και κραμάτων κ.λπ.) δεν γινόταν καμία απόπειρα χρήσης συμβόλων, εξισώσεων, συναρτήσεων. Σήμερα τα παιδιά του Δημοτικού εξασκούνται στη χρήση κάποιων συμβόλων αλλά είναι αρκετό αυτό που τους ζητείται κατά τη γνώμη του; Για παράδειγμα, η έννοια του «=»(ίσον) περιορίζεται στην ιδέα: «Δίπλα από αυτό το σύμβολο βάλε το αποτέλεσμα» αντί να αποκτούν τα παιδιά την αίσθηση πως πρόκειται για μία ισορροπία μεταξύ αριστερού και δεξιού μέλους. Κάτι που ανοίγει ίσως τον δρόμο για μετακινήσεις αριστερά και δεξιά. Και η απάντηση ήταν η εξής: «Τα μαθηματικά σύμβολα και η Λογική, όπως και η απόδειξη, ενώ είναι εκ των ων ουκ άνευ για τα ίδια τα Μαθηματικά, συνιστούν πρόβλημα για τη διδακτική τους. Λίγο παλαιότερα τέτοια πράγματα τα εισάγαμε στην Α΄ τάξη Λυκείου, επειδή όμως επικράτησε η άποψη ότι είναι δύσκολα και μπερδεύουν τους μαθητές σιγά-σιγά αφαιρέθηκαν. Αλλωστε η απόπειρα εισαγωγής των λεγόμενων NewMaths απέτυχε παντού όπου αυτά εισήχθησαν. Οσον αφορά την έννοια της ισότητας, αυτή είναι πολύ δύσκολη, γιατί πρέπει να φτάσει ο μαθητής στην ωριμότητα να αντιληφθεί ότι πρόκειται ουσιαστικά για μια ταυτολογία. Μιλάμε για το ίδιο πράγμα που εμφανίζεται με διαφορετικές μορφές, διαφορετικά ονόματα. Πρόκειται για διαφορετικές εκφράσεις του ίδιου πράγματος. Για παράδειγμα, στο 2=4/2, δεν πρόκειται για δύο διαφορετικά πράγματα αλλά για ένα που είναι ίσο με τον εαυτό του. Αυτό το κόλπο το χρησιμοποιούν τα Μαθηματικά για να κάνουν τη δουλειά τους από τεχνική άποψη, αλλά από εννοιολογική είναι πολύ δύσκολο και οδήγησε τον Wittgenstein να πει ότι τα Μαθηματικά είναι μια ταυτολογία».
Πολύ νωρίς ή πολύ αργά;
Μπορούν άραγε έννοιες όπως αυτή των αρνητικών αριθμών να εισαχθούν στο Δημοτικό και από ποια ηλικία (π.χ. με τη βοήθεια παραδειγμάτων όπως οι θερμοκρασίες κάτω από το μηδέν); Εδώ κατά τον κ. Γαβαλά η απάντηση είναι μάλλον αρνητική διότι όπως λέει: «Οι αρνητικοί αριθμοί εισάγονται στο τέλος της Α΄ τάξης Γυμνασίου και κατά κοινή ομολογία δυσκολεύουν πολύ τους μαθητές. Χρησιμοποιώντας αναλογική σκέψη, κάτι δηλαδή όπως η παρομοίωση. Διότι πράγματι θα μπορούσαμε να εισάγουμε αυτή την έννοια, αλλά το ερώτημα παραμένει: είναι ώριμοι οι μαθητές στην Ε΄ ή ΣΤ΄ τάξη του Δημοτικού για κάτι τέτοιο; Και παραπέρα, γιατί «κατεβάζουμε» συνεχώς την ύλη, δηλαδή αυτά που διδάσκονταν στο Πανεπιστήμιο, τώρα διδάσκονται στο Λύκειο και τα του Λυκείου στο Γυμνάσιο κ.τ.λ.; Τι κερδίζουμε πραγματικά με αυτό; Το κακό είναι ότι έχουμε λησμονήσει πως ό,τι διδάσκεται στο σχολείο συμβάλλει πρωτίστως στη διαπαιδαγώγηση των παιδιών με στόχο την ωρίμαση και την ολοκλήρωση της προσωπικότητάς τους. Τα σχολεία δεν βγάζουν ειδικότητες, αυτό είναι δουλειά των πανεπιστημιακών τμημάτων, τα σχολεία δίνουν γενική μόρφωση και καλλιέργεια στους νέους ανθρώπους χρησιμοποιώντας τα διάφορα γνωστικά αντικείμενα, τα οποία δεν συνιστούν αυτοσκοπό αλλά μέσον διαπαιδαγώγησης. Γενικά, θα έδινα περισσότερη έμφαση και χρόνο στη λεγόμενη «εννοιολογική αλλαγή», στην εμβάθυνση στην ύλη και στην εκχώρηση της τεχνικής πλευράς στις Νέες Τεχνολογίες».
Η ουσία της εμβάθυνσης
Στο πλαίσιο μάλιστα αυτής της εμβάθυνσης ο συνομιλητής μας συμπεριλαμβάνει και μια προσπάθεια που ως σχολικός σύμβουλος έκανε σχετικά με το θέμα «Μαθηματικά και Ποίηση» κάνοντας πολλά σεμινάρια με συμμετοχή εκπαιδευτικών όλων των βαθμίδων για την ενσωμάτωση αυτής της τάσης στο σχολικό πρόγραμμα. «Την αρχή αυτής της συσχέτισης τη βρίσκουμε ήδη στο 1959, όταν ο Αγγλος Τσαρλς Πέρσι Σνόου (1905-1980), μυθιστοριογράφος αλλά και φυσικο-χημικός, με τη διάλεξή του για τις «δύο κουλτούρες» ήδη από τότε είχε παρατηρήσει την έλλειψη επαφής και το διευρυνόμενο χάσμα ανάμεσα στην επιστημονική-τεχνολογική κουλτούρα από τη μια και αυτή των γραμμάτων και τεχνών από την άλλη. Το ζητούμενο ήταν η σύνθεση των δύο πολιτισμών. Η σύνθεση αυτή κινείται ανάμεσα στα δύο μέρη, ώστε να πραγματωθεί το λεγόμενο «σύστημα των δύο κόσμων/πολιτισμών»».
Εδώ ο συνομιλητής μας χρησιμοποιεί τον όρο «πλευρίωση» (lateralization) εννοώντας την κυριαρχία της μιας πλευράς έναντι της άλλης (η πλευρίωση σχετίζεται με το ποιο από τα δύο ημισφαίρια του εγκεφάλου έχει αποκτήσει λειτουργική υπεροχή). Μέρος λοιπόν αυτής της τάσης αποτελεί η σύνθεση Ποίησης και Μαθηματικών. Οπως λέει, «η σύνθεση Ποίησης και Μαθηματικών μπορεί να αποτελέσει μια διάσταση αυτής της προσπάθειας στο σχολείο και στο ήδη υπάρχον πλαίσιο, μια προσπάθεια που μπορεί να αρχίζει από το Δημοτικό. Προσωπικά έχω κάνει τέτοιες παρουσιάσεις στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο, αλλά δυστυχώς αυτά αποτελούν κάποιου είδους επίδειξη ή και (υπο)δειγματική διδασκαλία που δεν περνάει όμως (προς το παρόν) στη σχολική καθημερινότητα».
Η αλήθεια είναι πως για τη σημερινή σχολική καθημερινότητα, στο χάλι που βρίσκεται, πολλοί μπορεί να θεωρήσουν την εισαγωγή της Ποίησης μια μεγάλη πολυτέλεια.
Ας λάβουν όμως υπόψη τους πως ναι μεν δεν είναι μόνον αυτό που μας λείπει αλλά γενικά χρειαζόμαστε πολύ διαφορετικές και δυναμικές προτάσεις για να πάψουμε να είμαστε στις τελευταίες θέσεις σε σύγκριση με τις υπόλοιπες ευρωπαϊκές χώρες (στην προηγούμενη παγκόσμια PISA περνούσαμε μόνον τη Βουλγαρία και τη Ρουμανία ενώ μας περνάει πάντα η Τουρκία), ενώ φαίνεται πως και εφέτος η σχολική χρονιά θα κυλήσει στις ίδιες ράγες.
Και κάποιοι μαθητές θα σκέφτονται όπως ο νεαρός Γιουνγκ: «Καθώς προχωρούσαμε στα Μαθηματικά, τα κατάφερα να τα βγάλω πέρα, λίγο-πολύ, με την αντιγραφή αλγεβρικών τύπων που το νόημά τους δεν το καταλάβαινα και με την αποστήθιση όταν εμφανιζόταν στον πίνακα ένας ορισμένος συνδυασμός από γράμματα του αλφαβήτου… Το μάθημα των Μαθηματικών έγινε σωστός τρόμος και μαρτύριο για μένα. Τα άλλα μαθήματα τα έβρισκα εύκολα».
Μια νέα τάση
Υπό διερεύνηση βρίσκεται η προσπάθεια εισαγωγής δύσκολων μαθηματικών εννοιών σε πρώιμες εκπαιδευτικές βαθμίδες.
Σε άλλες χώρες της Ευρώπης και της Αμερικής υπάρχει πλέον κάτι που ονομάζεται New Algebra (νέα άλγεβρα) και κάτι που ονομάζεται Functional Thinking (λειτουργική σκέψη). Mε αυτά επιχειρείται η εισαγωγή αλγεβρικών εννοιών και της έννοιας της συνάρτησης ακόμη και στο Νηπιαγωγείο. Από παιδιά έως και της τρίτης Δημοτικού ζητείται να κατανοούν έννοιες όπως αυτή της συνάρτησης, δηλαδή της συν-μεταβολής δύο μεταβαλλόμενων μεγεθών. Για παράδειγμα, όταν μεταβάλλεται ο αριθμός κάποιων σκύλων πώς μεταβάλλεται αντίστοιχα ο συνολικός αριθμός των ποδιών τους ή των αφτιών τους. Ενώ συνιστάται ακόμη και σε νηπιαγωγούς να δείχνουν στα παιδιά το πώς όταν ένα κομμάτι σπάγκου κόβεται διαδοχικά στη μέση, ποια είναι η σχέση ανάμεσα στις ψαλιδιές και στα κομμάτια που προκύπτουν. Βέβαια αυτά είναι προτάσεις που γίνονται μέσα από εργασίες μόλις της τελευταίας δεκαετίας και θα χρειαστεί να περάσουν μερικά χρόνια ακόμη για να μπορούν να αξιολογηθούν τα αντίστοιχα αποτελέσματα. Γιατί υπάρχει και η αντίθετη άποψη που την εκφράζει εδώ ο κ. Γαβαλάς, λέγοντας ότι «ο χειρισμός μαθηματικών συμβόλων, χωρίς βαθύτερη κατανόηση του εννοιολογικού υποβάθρου, συνιστά μηχανιστική μάθηση που μπορεί να την εκτελέσει και ο Η/Υ. Η Αλγεβρα ουσιαστικά συνιστά μια μορφή Λογικής και απαιτεί επίσης αφαίρεση. Ερευνες δείχνουν ότι τα παιδιά/μαθητές μέχρι περίπου και τη Β΄ τάξη Γυμνασίου μόνο σε ποσοστό 20% μπορούν, λόγω της κατάστασης του εγκεφάλου σε αυτή την ηλικία, να κατανοήσουν Λογική και αφηρημένες έννοιες. Χρειάζονται ακόμη το συγκεκριμένο. Αρα γενικά είναι πολύ δύσκολο να διδαχθεί Αλγεβρα σε όλους μέχρι αυτή την τάξη και φυσικά ο προβληματισμός του δασκάλου πρέπει να είναι μεγάλος για το πώς θα παρουσιαστούν κατάλληλα οι σχετικές έννοιες και τεχνικές».
