Τυχαίνει τη στιγμή που γράφω για το ογκώδες βιβλίο «Τα Μαθηματικά στην ποίηση» (εκδόσεις Παπαηλιού) του Δημήτρη Γαβαλά να έρχονται στα αφτιά μου μέσα από το ραδιόφωνο μελοποιημένοι οι γνωστοί στίχοι από το ποίημα του Αντόνιο Ματσάδο (1875-1939): «Διαβάτη, είναι τα πατήματά σου/ ο δρόμος, και τίποτ’ άλλο/διαβάτη, δεν έχει δρόμο/(εσύ) φτιάχνεις τον δρόμο, περπατώντας».
Ο συγγραφέας είναι μαθηματικός, με διδακτορικές διατριβές στη Θεωρία των Κατηγοριών και στη Διδακτική των Μαθηματικών, με μια εντελώς μοναχική πορεία που προσπαθεί να δημιουργήσει δρόμους σε πολύ σκληρό «έδαφος». Συνδυάζοντας όσο και αν τα νομίζουμε ασύμβατα μεταξύ τους, στο πέμπτο αυτό βιβλίο του, τα όσα αναφέρει και ο τίτλος.
Οι 530 σελίδες χωρίζονται σε πέντε τμήματα. Θεωρητικά κείμενα, Παραδειγματικά κείμενα, Αναφορές στις έρευνες του Δ. Γαβαλά, Ανθολόγιο μαθηματικής ποίησης και ένα παράρτημα με επίσης σχετικές εργασίες του συγγραφέα.
Κατά τον Δ. Γαβαλά υπάρχουν a priori λόγοι να σκεφθούμε από κοινού την Ποίηση και τα Μαθηματικά, ως δύο σπάνιες μορφές συμβολικής δημιουργικής δραστηριότητας που βασίζονται στη δύναμη του ανθρώπινου νου να εντοπίζει κρυφές αναλογίες. Μέσα στο βιβλίο ο αναγνώστης θα βρει πολλά άρθρα που υποστηρίζουν κάτι τέτοιο, συχνά με απροσδόκητες και σπάνιες αναφορές. Οπως οι πρώτοι αριθμοί στην ποίηση, ακόμη πιο συγκεκριμένα για τον αριθμό 7 στην ποίηση του Ελύτη, ένα εξαιρετικά ενδιαφέρον απόσπασμα από τη Σεραφίτα και το Λουί Λαμπέρ του Ονορέ ντε Μπαλζάκ, και τα Ασματα του Μαλντορόρ από τον Ιζιντόρ Ντικάς (γνωστότερο ως κόμη του Λοτρεαμόν). Ο τελευταίος στο δεύτερο άσμα ξεκινάει με το εξής: «Ω! Μαθηματικά σπουδαία, μου μείνατε αξέχαστα από τότε που τα σοφά μαθήματά σας πιο γλυκά και από μέλι, καταστάλαζαν στην καρδιά μου σαν σκίρτημα εμψυχωτικό». Ο γερμανός ποιητής Νοβάλις (κατά κόσμον Γκεόργκ φον Χάρντενμπεργκ, 1772-1801) έχει επίσης γράψει και έναν «Υμνο στα Μαθηματικά».
Ο συγγραφέας, έχοντας διδάξει πολλά χρόνια στη Μέση Εκπαίδευση, έχει συμπεριλάβει στο βιβλίο και ένα γραπτό που ονομάζει «Προσωπική Διαδρομή». Από αυτό αποσπώ το εξής: «Βρίσκομαι σε ένα Λύκειο Θηλέων και ως πρωτάρη μου δίνουν μια πρώτη τάξη με 4 τμήματα και 30 μαθήτριες το καθένα… Ο προσανατολισμός του σχολείου και των μαθητριών είναι… αντι-μαθηματικός. Κανένα ενδιαφέρον για το μάθημα. Αποφασίζω να βρω ποιήματα που αναφέρονται στα Μαθηματικά και να απευθυνθώ στο συναίσθημα των μαθητριών και ύστερα στη σκέψη. Λέγοντας ότι ακόμη και οι ποιητές εμπνέονται από τα Μαθηματικά και γράφουν ποιήματα γι’ αυτά, κατορθώνω να κινητοποιήσω σιγά-σιγά τις μαθήτριες που αρχίζουν και αυτές να ψάχνουν το αντικείμενο… Το πείραμα πέτυχε».
Πιστεύω πως το βιβλίο θα ενδιέφερε πολλούς από τους αναγνώστες αυτής της σελίδας.
Το πρόβλημα του 0!
Την προηγούμενη εβδομάδα δόθηκε το πρόβλημα: (Ν-1)!+1=Ν2. Ζητείται ο Ν.
Ενας ακόμη λόγος που δόθηκε στο προηγούμενο φύλλο της εφημερίδας αυτό το πρόβλημα ήταν και για να προκαλέσουμε την προσοχή της αναγνώστριας και του αναγνώστη σε ένα ακόμη θέμα. Δεν θέλουμε να δεχθούμε ασχολίαστα το ότι πρέπει εξ αρχής να είναι το Ν διάφορο του +1. Πρέπει όμως, διότι στα Μαθηματικά έχουμε καταλήξει ότι θα πρέπει 0!=1. Υπάρχουν διάφοροι συλλογισμοί που μας οδηγούν όλοι σε αυτό. Ας δούμε δύο από αυτούς: Παρατηρούμε για παράδειγμα ότι το να διατάξουμε τους 4 αριθμούς (1, 2, 3, 4) με διάφορους τρόπους (2, 3, 4, 1), (3, 4, 1, 2) κ.λπ. δίνει συνολικά 24 διαφορετικές μεταξύ τους διατάξεις. Αλλά 24 είναι και το 4!=1x2x3x4. Για τους δύο αριθμούς (1, 2) και (2, 1) έχουμε δύο διατάξεις, δηλαδή 2!=1×2. Για έναν, δηλαδή για το 1, έχουμε 1!=1. Για το 0! έχουμε ένα κενό σύνολο και στο ερώτημα «με πόσους τρόπους μπορούμε να διατάξουμε ένα κενό σύνολο» κάνοντας μια νοητική υπέρβαση αν και δεν υπάρχει κάτι να διαταχθεί θεωρούμε πως αυτό γίνεται με έναν μόνον τρόπο. Για μια πιο σκληρά υπολογιστική απάντηση, υπάρχει ο γενικός τύπος της συνδυαστικής θεωρίας για τους συνδυασμούς (όπου όλες οι προηγούμενες διατάξεις π.χ. των 4 ανά 4 θεωρούνται ένας συνδυασμός, διότι δεν ενδιαφέρει η σειρά των αριθμών) των n πραγμάτων ανά r(n>=r): n!/[r! x (n-r)!]. Ετσι π.χ. για n=r=3 έχουμε μόνον έναν συνδυασμό, οπότε προκύπτει ότι C(3,3)=1 =3!/(3! 0!) και λύνοντας ως προς 0! αναγκαστικά προκύπτει ότι 0!=1.
Από τα παραπάνω για Ν=1 θα είχαμε 0!+1=1 ή κατά τα προηγούμενα 2=1, το οποίο είναι άτοπο. Μετά από αυτό, το πρώτο που χτυπάει στο μάτι μας είναι πως η μεταφορά του 1 στο άλλο μέλος δημιουργεί μια διαφορά τετραγώνων: (Ν-1)! =Ν2-1. Με Ν διάφορο του +1 θα έχουμε (Ν-1)!=(Ν+1)(Ν-1) ή (Ν-2)!=(Ν+1). Θέτουμε (Ν-2)=κ οπότε Ν=(κ+2) και τελικά κ!=κ+2+1=κ+3. Συνεχίζουμε ως εξής: κ(κ-1)!=κ+3 άρα κ(κ-1)!-κ=3 και από εκεί κ[(κ-1)!-1]=3×1.
Εδώ θα πρέπει να εξετάσουμε δύο περιπτώσεις:
1) κ=3, (κ-1)!-1=1 και η τελευταία αυτή σχέση δίνει (κ-1)!=2 ή πιο παραστατικά (κ-1)!=2! οπότε κ-1=2 ή κ=3 και έτσι Ν-2=3 ή Ν=5.
2) κ=1 και (κ-1)!-1=3, δηλαδή (κ-1)!=4. Αλλά το 4 δεν μπορεί να αναλυθεί έτσι ώστε να είναι το γινόμενο κάποιων διαδοχικών παραγόντων, άρα αυτή η λύση απορρίπτεται.
Quiz
Πνευματική γυμναστική
l Αυτό το πρόβλημα εκτός από… ολίγη Φυσική χρειάζεται πιο πολύ και κάποια Μαθηματικά: Ενα κομμάτι πάγου επιπλέει σε δοχείο με (γλυκό) νερό. Τι θα συμβεί καθώς θα λιώσει ο πάγος αν: 1. Υπήρχαν φυσαλίδες παγιδευμένες στον πάγο, 2. Αν υπάρχει ένα κομματάκι από ξύλο παγιδευμένο στον πάγο, 3. Αν υπάρχει ένα κομματάκι από μολύβι αντίστοιχα;
l Από τη σχέση f(x+1)=f(x+2)+1 να βρεθεί η f(x), με x ακέραιο.
l Από τη σχέση: 1x+10x=100x, όπου x πραγματικός, να υπολογιστεί το x.
ΟΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
l Ν! = 6! επί 7! (ή Ν! = 6!x7!), ζητείται η τιμή του Ν. Για προβλήματα αυτού του τύπου υπάρχει μια πολύ αποτελεσματική τεχνική. Αναλύοντας έναν από τους δύο παράγοντες (6! ή 7!) ψάχνουμε μήπως μπορεί να προκύψει η συνέχεια του άλλου. Δηλαδή: 6!=1x2x3x4x5x6 = 2x3x2x2x5x2x3 = (2x2x2)x(3×3)x(2×5) = 8x9x10, άρα (6!x7!) = (7!x6!) = 7!x8x9x10 =10! άρα Ν!=10! οπότε Ν=10. Υπάρχει όμως και μια πολύ πιο κομψή λύση: Επειδή στο γινόμενο 6!x7! δεν περιλαμβάνεται το 11 που είναι πρώτος αριθμός, θα πρέπει Ν<11. Ομως το γινόμενο 6!x7! περιλαμβάνει το 2×5=10, άρα Ν≥10. Οπότε για 10,+Ν<11 θα ισχύει Ν=10.
l Εχουμε ένα εκπτωτικό κουπόνι αξίας y ευρώ για ένα αντικείμενο αξίας x>y ευρώ. Αν αγοράσουμε συσκευασία των 3 αντικειμένων τότε η τιμή της είναι 2x ευρώ. Ερώτηση: Με δεδομένο το x, για κάθε y θα μας έρχεται φθηνότερα η τιμή του ενός αντικειμένου, αγοράζοντας τη συσκευασία των 3 αντί της συσκευασίας του ενός; Ας δούμε λοιπόν τι θα συνέβαινε αν y>(x/2). Αγοράζοντας τη συσκευασία του ενός πληρώνουμε (x-y). Αγοράζοντας τη συσκευασία των τριών πληρώνουμε (2x-y), άρα η τιμή μονάδος τότε θα είναι [(2x-y)/3]. Θα περιμέναμε να ισχύει ότι [(2x-y)/3]<(x-y) ή ότι (2x/3)-(y/3)<x-y => y-(y/3)<x-(2x/3) => (2y/3)<(x/3) => 2y<x => y<(x/2). Που είναι αντίθετο με την αρχική μας υπόθεση, άρα δεν μπορεί σε αυτή την περίπτωση να είναι πιο φθηνή η επιλογή της συσκευασίας των τριών!
