Τα εμβληματικά οχυρωματικά τείχη της Λευκωσίας που κτίστηκαν (στην τελική τους μορφή) από τους Βενετούς το 1567, έχουν σχήμα κανονικού εντεκαγώνου (δηλαδή με όλες τις πλευρές και τις γωνίες του ίδιες) με συνολική περιφέρεια περίπου ίση με 5 χιλιόμετρα. Μάλιστα, το σχολείο μας, το Παγκύπριο Γυμνάσιο Λευκωσίας, βρίσκεται εντός των τειχών, στην καρδιά της παλιάς πόλης της Λευκωσίας, μόνο κάποια βήματα μακριά από την πύλη Αμμοχώστου.
Τα Ενετικά τείχη αποτελούν ένα τεράστιο κτίσμα για την εποχή και τα δεδομένα της Κύπρου, το οποίο όμως αφήνει αρκετά ερωτηματικά ως προς τον τρόπο κατασκευής του. Αντίθετα με ένα κανονικό εξάγωνο, οκτάγωνο, δεκάγωνο ή ακόμη και δωδεκάγωνο, το κανονικό εντεκάγωνο δεν ανήκει στα σχήματα τα οποία μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη. Το μήκος της πλευράς του δεν είναι σχεδόν ποτέ ακέραιος αριθμός, ούτε και οι γωνίες του (εσωτερική γωνιά και κεντρική) μπορούν να υπολογιστούν ακριβώς, πόσο μάλλον όταν σκεφτούμε τα μέσα που είχαν οι μηχανικοί και αρχιτέκτονες της τότε εποχής. Πώς κατάφερε άραγε ο αρχιτέκτονας των τειχών Τζούλιο Σαβορνιάνο να σχεδιάσει, να μετρήσει επί του εδάφους και να κατασκευάσει μαζί με την ομάδα του ένα τόσο άρτιο, συμμετρικό και μεγάλο κτίσμα, χωρίς τη χρήση δορυφορικών εικόνων, εργαλείων laser και drones; Ποια μέθοδο χρησιμοποίησαν για να προσεγγίσουν την κατασκευή αυτή και να πετύχουν ένα τόσο όμορφο αποτέλεσμα;
Η έρευνα και η κατασκευή
Εμείς ασχοληθήκαμε με την κατασκευαστική και μαθηματική διάσταση αυτού του αρχιτεκτονικού άθλου. Και αφού μελετήσαμε, πράξαμε! Το αποτέλεσμα της έρευνάς μας δε, πλέον θα βρίσκεται μόνιμα στην κεντρική αυλή του σχολείου μας! Ιδού λοιπόν τι κάναμε και τι ανακαλύψαμε:
Από τα μαθήματα της γεωμετρίας γνωρίζουμε ότι οι εσωτερικές γωνίες οποιουδήποτε εντεκαγώνου έχουν άθροισμα 1.620 μοίρες ακριβώς. Αφού όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους, η κάθε μία εσωτερική γωνία είναι ίση με 1.620°/11 και προσεγγιστικά ίση με 147°. Η κεντρική του γωνία είναι ίση με 360°/11 ή 32,7272 μοίρες.
Είναι ένα ιδιαίτερο σχήμα που δεν το συναντάμε συχνά σε κατασκευές στην καθημερινή μας ζωή. Διαπιστώσαμε ότι λόγω της πολυπλοκότητάς του έχει χρησιμοποιηθεί από διάφορες χώρες ως νόμισμα. Σχήμα κανονικού εντεκαγώνου έχει το καναδικό δολάριο, ένα παλιό αμερικανικό δολάριο του 1981, ένα νόμισμα από τη Μαδαγασκάρη αξίας 50-Ariary και ένα παλιό ινδικό νόμισμα αξίας 2 ρουπίων.
Η απορία και οι υποθέσεις
Οπως μάθαμε, το κανονικό εντεκάγωνο δεν είναι δυνατόν να κατασκευασθεί ούτε με βαθμονομημένο χάρακα και διαβήτη ή με τη μέθοδο της τριχοτόμησης της γωνίας (κατασκευαστική μέθοδος από τους αρχαίους Eλληνες, «νεύσις»). Αυτό το γεγονός μάς δημιούργησε την απορία για τον τρόπο με τον οποίο εργάστηκαν οι αρχιτέκτονες και μηχανικοί των Βενετών, με πολεοδομικά μέσα και εργαλεία πιο περιορισμένα από τα σύγχρονα.
Η πρώτη μας υπόθεση είναι και η πιο προφανής και μαθηματικά απλούστερη: ο υπολογισμός σε χαρτί των διαστάσεων ενός κανονικού εντεκαγώνου χρησιμοποιώντας απλές μεθόδους υπολογισμού από τη γεωμετρία και την τριγωνομετρία. Γνωρίζοντας ότι το μήκος της περιφέρειας του νοητού κύκλου στο οποίο είναι εγγεγραμμένα τα τείχη είναι περίπου 5 χιλιόμετρα, υπολογίζουμε εύκολα – τελικά – το μήκος της πλευράς του κανονικού μας εντεκαγώνου, ίση με 445 μέτρα. Οι αρχιτέκτονες και μηχανικοί, πολύ απλά, κινούμενοι δεξιόστροφα υπό γωνία 147 μοιρών και απόσταση 445 μέτρων κάθε φορά κατάφεραν την κατασκευή του κανονικού εντεκαγώνου με αρκετά μεγάλη ακρίβεια.
Οι εναλλακτικές μέθοδοι
Εχουμε βρει και δύο εναλλακτικές μεθόδους κατασκευής, αρκετά πιο σύνθετες, που δίνουν όμως πολύ καλές προσεγγίσεις. Η πρώτη προσεγγιστική μέθοδος (την οποία και εφαρμόσαμε στην κατασκευή στην κεντρική αυλή του σχολείου μας) περιλαμβάνει κατασκευή κύκλου με ακτίνα ΟΑ (και διάμετρο ΒΟΑ), όπου χαράσσουμε και την κάθετη ακτίνα ΟΓ. Η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΟΓ (που το τέμνει στο σημείο Δ) τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε. Αντίστοιχα, με τη μεσοκάθετο του ΕΔ (που τέμνει το τμήμα ΕΔ στο σημείο Ζ), βρίσκουμε το σημείο Η, που είναι το ίχνος της ευθείας ΟΖ στην περιφέρεια του κύκλου. Με κέντρο το σημείο Β και ακτίνα το ΒΗ βρίσκουμε το σημείο τομής Θ με τον κύκλο. Με κέντρο το σημείο Θ και σταθερή πλέον ακτίνα το μήκος ΘΗ, κινούμενοι διαδοχικά και επαναληπτικά σχηματίζουμε τελικά το κανονικό εντεκάγωνο με σχετικά πολύ μικρές αποκλίσεις (7 πλευρές με απόκλιση 0,37% και 4 πλευρές με απόκλιση 0,61%). Κι αν αυτά είναι λίγο… μπερδεμένα, αξίζει τον κόπο να δείτε τη σχετική φωτογραφία, με τα σχέδιά μας επί χάρτου.
Η δεύτερη προσεγγιστική μέθοδος περιγράφεται αναλυτικά από τον T. Drummond κατά το 1800 ακολουθώντας χαλκογραφία του 1698. Είναι πιο απλή από την πρώτη αλλά σχηματίζει το κανονικό εντεκάγωνο με μεγαλύτερη απόκλιση.
Κατασκευάζοντας διαδοχικά μεσοκαθέτους και ίσα τόξα που διδαχθήκαμε στην Α’ τάξη Γυμνασίου φτάνουμε σε μια αρκετά καλή προσέγγιση της πλευράς κανονικού εντεκαγώνου. Ακολούθως, με διαδοχικά ίσα τόξα πάνω στην περιφέρεια του αρχικού κύκλου σχηματίζουμε το τελικό σχήμα.
Το αποτέλεσμα και η… μονιμοποίηση
Αν και αρκετά πιο περίπλοκη, η πρώτη προσεγγιστική μέθοδος ήταν αυτή που μας κέντρισε το ενδιαφέρον, λόγω και της υψηλής ακρίβειάς της στο τελικό αποτέλεσμα. Χρησιμοποιώντας απλά υλικά, όπως σχοινί, βαθμονομημένο χάρακα και χρωματιστές κιμωλίες κατασκευάσαμε με τη βοήθεια του καθηγητή μας ένα κανονικό εντεκάγωνο (εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 5 μέτρων) μαζί με όλες τις βοηθητικές γραμμές και κυκλικά τόξα που χρησιμοποιήσαμε στην πορεία. Ακολουθώντας πιστά τις οδηγίες, φτάσαμε σε ένα αρκετά ικανοποιητικό αποτέλεσμα, με κάθε πλευρά του εντεκαγώνου να προσεγγίζει τα 2,82 μέτρα που θα ήταν το ιδανικό.
Τέλος, με ιδιαίτερη χαρά πληροφορηθήκαμε από τον διευθυντή του σχολείου μας κ. Λοΐζο Σέπο ότι ο κόπος μας δεν θα πάει «χαμένος», αφού μας ζήτησε να αντικαταστήσουμε τις γραμμές με τις κιμωλίες με ανεξίτηλα έντονα χρώματα. Με αυτόν τον τρόπο η έρευνά μας θα αποτελεί πλέον ένα έκθεμα στην κεντρική αυλή του σχολικού μας χώρου, εξηγώντας και στους υπόλοιπους συμμαθητές μας τη δουλειά μας. Αυτή η εργασία/έρευνα ήταν για μας πολύ ξεχωριστή, λόγω της ιδιαιτερότητάς της, της πολυπλοκότητας αλλά και της σχέσης της με την ιστορία της πόλης μας.
Των Αβραάμ Ολυμπίου, Κυπριανού Ιακώβου, Λιουντμίλας Μπαχτιγιαριάν
