Η έννοια του απείρου στα Μαθηματικά είναι ένα ακόμη εκπληκτικό επίτευγμα του ανθρώπινου μυαλού διότι θα μπορούσαμε να ζούμε μια χαρά την καθημερινή μας ζωή χωρίς αυτήν. Όμως έχουν ασχοληθεί με το άπειρο οι πλέον φωτισμένοι μαθηματικοί και έχουν προχωρήσει την έννοια αυτήν όσο δεν μπορεί καν να φανταστεί ο μικρός μαθητής που βγαίνει μετά από 12 χρόνια από το σχολείο.
Θα έπρεπε κατά την γνώμη μου με μια συνεκτική γνώση σχετικά με το άπειρο να μας προικίζει το σχολείο πριν αποχαιρετίσουν τα θρανία, κάποιοι οριστικά. Τουλάχιστον ας ακολουθούσαμε, αυτό που κάνει η Θεολογία σχετικά με την έννοια του Θεού. Δηλαδή να μαθαίναμε τουλάχιστον τί δεν είναι το άπειρο, που δηλώνεται στα κείμενα με το σύμβολο ∞.
Γιατί αλλιώς μπορεί να επικρατήσει μια σχετική αμηχανία μπροστά σε κάποια «κόλπα»(με καλό σκοπό σίγουρα) που βλέπουμε να μεταχειρίζονται οι συγγραφείς σε βιβλία Μαθηματικών.
Δηλαδή ακόμη και όταν το βλέπουμε γραμμένο ότι:∞+1=∞ αυτό είναι η περίληψη μιας γενικότερης προσπάθειας περιγραφής μιας έννοιας αλλά όχι, δεν υπακούει στους γνωστούς κανόνες της αριθμητικής. Διότι προχωρώντας ένα βήμα ακόμη, σαν να πρόκειται για συνήθεις αριθμούς, θα μας έδινε και το απαράδεκτο 1=0 . Ούτε ∞+∞=∞είναι κάποια αλγεβρική μορφή που μπορεί να καταλήξει στο ότι ∞=0 ή και στο 2∞=∞ ή στην συνέχεια και στο 2=1. Και τέλος ∞x∞=∞ να δώσει ∞=1.
Άρα το άπειρο από τα παραπάνω φαίνεται πως είναι ένα «παιδί» που δεν μπορεί να παίζει επί ίσοις όροις με τα άλλα «παιδιά» δηλαδή τους υπόλοιπους επινοημένους από εμάς αριθμούς(ακέραιοι, θετικοί, φυσικοί, πραγματικοί κλπ). Αυτό όμως δεν είναι κάτι που απέτρεψε πολλούς και φωτισμένους μαθηματικούς να το βγάλουν από το μυαλό τους. Κάτι που προκύπτει πολύ εντυπωσιακά(για το πώς φθάνει να λειτουργεί το μυαλό κάποιων ανθρώπων) αν σκεφθούμε το τί υποτίθεται ότι συμβαίνει στο λεγόμενο Ξενοδοχείο του Χίλμπερτ(Hilbert’s Hotel).
Εκεί υπάρχουν τόσα αριθμημένα δωμάτια όσοι και οι ακέραιοι θετικοί αριθμοί, δηλαδή με αριθμούς 1,2,3,… 245, 246, …3 456 678,… και είναι όλα κατειλημμένα από ενοίκους. Αλλά επειδή δεν υπάρχει τέλος στην αρίθμηση τους υποτίθεται ότι όταν φθάσει άλλος ένας που θέλει δωμάτιο ο άνθρωπος στην υποδοχή κανονίζει όλοι οι ένοικοι να μετακινηθούν σε επόμενο αριθμημένο δωμάτιο και ο άρτι αφιχθείς να μπει στο υπ’ αριθμόν 1 δωμάτιο.
Για την αρίθμηση των δωματίων χρησιμοποιήσαμε τους λεγόμενους φυσικούς ακέραιους θετικούς αριθμούς. Που ορίζονται πλήρως και σαφώς χωρίς να μπορούμε προσδιορίσουμε ποιος είναι ο τελευταίος διότι ορίζονται ως «όποιος αριθμός είναι είτε ο 1 είτε ο (ν+1), όπου και ο ν είναι ένας από αυτούς».
Προφανώς υπάρχει και συνέχεια ως προς τα παραπάνω.
Ωχ, έρχονται και προβλήματα!
1. Η διαφορά μεταξύ των ακμών δυο κύβων είναι 6 και η διαφορά των όγκων τους είναι 504. Ζητούνται τα μήκη των ακμών.
2. Ένα πρόβλημα που μπορούν μάλλον και παιδιά του Γυμνασίου να προσεγγίσουν: Κάποιος κρατάει συνολικά 8 νομίσματα και στα δυο χέρια του. Παίρνουμε τον αριθμό των νομισμάτων στο αριστερό του χέρι τον υψώνουμε στο τετράγωνο και στον κύβο και προσθέτουμε τους τρεις αριθμούς που προκύπτουν. Κάνουμε το ίδιο και για τον αριθμό των νομισμάτων στο δεξί του χέρι. Αν προσθέσουμε τους δυο αριθμούς που προκύπτουν παίρνουμε άθροισμα 194. Από όλα αυτά να βρεθεί πόσα νομίσματα κρατούσε στο καθένα χέρι.
3. Από ένα βαρέλι γεμάτο με κρασί κάποιος αφαιρεί στην αρχή 3 λίτρα και βάζει στην θέση τους 3 λίτρα νερό. Αυτό το νέρωμα επαναλαμβάνεται άλλες δυο φορές, με 3 λίτρα νερό την κάθε φορά. Με αυτές τις ενέργειες το κρασί μέσα στο βαρέλι έχασε το (1/2) της περιεκτικότητάς του σε κρασί. Πόσα λίτρα κρασί περιείχε στην αρχή το βαρέλι;(Υπόδειξη: Πρόκειται για ένα πολύ παλιό πρόβλημα και με τον όρο «περιεκτικότητα» θα νοούμε εδώ για κάθε αφαίρεση κρασιού-συμπλήρωση με νερό, το εξής: αν χ είναι η ποσότητα κρασιού πριν αρχίσει το νέρωμά του και α1=(χ-3) η ποσότητα κρασιού(ανέρωτου), που μένει αφαιρώντας 3 λίτρα, τότε ως περιεκτικότητα θεωρούμε το κλάσμα (α1/χ). Ανάλογα σκεπτόμαστε την περιεκτικότητα και στις δυο επόμενες μεταγγίσεις).
Ευτυχώς εδώ είναι και οι λύσεις
1. Απάντηση
Αν χ και ψ είναι τα μήκη των ακμών τότε θα ισχύουν οι σχέσεις: (χ-ψ)=6 και (χ3 –ψ3)= 504. Αλλά (χ3 –ψ3)= (χ-ψ)(χ2+χψ+ψ2)=(χ-ψ)[(χ-ψ)2+2χψ+χψ]= )=(χ-ψ)[(χ-ψ)2+3χψ]= 504. Επειδή (χ-ψ)=6 αν θέσουμε και χψ=τ προκύπτει ότι: 6(36+3τ)=504 οπότε τ=16. Άρα τώρα έχουμε ότι (χ-ψ)=6 και χψ=16. Οπότε(απορρίπτοντας την αρνητική ρίζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης που προκύπτει ως προς ψ) θα είναι ψ=2 οπότε χ=8.
2. Απάντηση
Αν είχε χ νομίσματα στο δεξί του χέρι και ψ στο αριστερό του χέρι θα ισχύει το εξής: χ+χ2+χ3+ψ+ψ2+ψ3 = 194. Και αυτό μετασχηματίζεται με βάση τις γνωστές ταυτότητες (χ+ψ)2 = χ2 + ψ2 +2χψ και (χ+ψ)3 = χ3 + ψ3 + 3χψ(χ+ψ) ως εξής: (χ+ψ) + (χ+ψ)2 -2χψ + (χ+ψ)3 – 3χψ(χ+ψ) = 194. Επειδή (χ+ψ) = 8 νομίσματα και στα δυο χέρια μαζί, θα έχουμε 8+82 -2χψ + 83 – 3χψ8 =194. Συμβολίζοντας με τ=χψ θα προκύψει η 8 + 64 -2τ + 512 – 24τ = 194 δηλαδή τ = 15. Επιστρέφουμε στην χψ = τ οπότε έχουμε χψ=15 αλλά χ+ψ = 8 ή ψ = (8-χ) οπότε χ(8-χ) = 15 ή χ2 + 8χ – 15 = 0. Αυτή η δευτεροβάθμια εξίσωση δίνει δυο ρίζες 3 και 5. Άρα είχαμε 3 νομίσματα στο αριστερό και 5 στο δεξί ή αντίστροφα.
3. Απάντηση
Σε αυτό το πρόβλημα είναι πολύ σημαντικό να κάνουμε λεπτομερή καταγραφή μέσα στο ίδιο βαρέλι των αλλαγών στην ποσότητα του κρασιού και του νερού, που θα τα θεωρούμε ως δυο εντελώς διαχωρίσιμα μεταξύ τους υγρά. Επίσης η περιεκτικότητα με βάση τον ορισμό που της δώσαμε στην εκφώνηση, στην αρχή θα είναι 1 αφού μόνον κρασί είχε το βαρέλι.
Α) Ξεκινάμε υποθέτοντας ότι στο βαρέλι είχαμε χ ποσότητα κρασιού σε λίτρα. Αφαιρούμε 3 λίτρα άρα η ποσότητα κρασιού τώρα στο βαρέλι είναι α1 = (χ-3). Μπήκαν 3 λίτρα νερό άρα η περιεκτικότητα άλλαξε και αυτή, έγινε σ1=(α1/χ) δηλαδή σ1=[(χ-3)/χ].
Β) Στο επόμενο βήμα θέλει πολλή προσοχή. Διότι αφαιρούμε άλλα 3 λίτρα από το περιεχόμενο του βαρελιού όμως δεν θα είναι μάλλον όλα κρασί αφού ήδη έχει μπει και νερό. Υποθέτουμε επομένως ότι αφαιρέσαμε 3 λίτρα υγρού με περιεκτικότητα σε κρασί σ1=(α1/χ). Άρα στο βαρέλι έχουν μείνει α2= (α1-3σ1) λίτρα κρασί. Αυτό μεταφράζεται σε ποσότητα κρασιού α2= [(χ-3)-3(χ-3)/χ] και σε περιεκτικότητα κρασιού σ2=(α2/χ).
Γ) Στο τρίτο βήμα είχαμε αφαίρεση άλλων 3 λίτρων οπότε η ποσότητα κρασιού είναι πλέον α3=(α2-3σ2) και η περιεκτικότητα σ3=(α3/χ).
Από την α3=(α2-3σ2) αντικαθιστώντας με τα προηγούμενα προκύπτει ότι α3=α2-(α2/χ) δηλαδή α3=α2[1-(3/χ)]. Και αντικαθιστώντας το α2 έχουμε α3=[(χ-3)-3(χ-3)/χ]x[1-(3/χ)].
Τώρα κάνοντας τις πράξεις στις αγκύλες προκύπτει τελικά α3=(χ-3)3/χ2. Οπότε για την περιεκτικότητα σ3=(α3/χ) βρίσκουμε ότι σ3= [(χ-3)3/χ3]. Όπως όμως αναφέρεται στο πρόβλημα θα είναι α3=(1/2) άρα [(χ-3)3/χ3]=(1/2)και λύνοντας ως προς χ βρίσκουμε ότι χ= 14,54 λίτρα περίπου.
