Η Τεχνητή Νοημοσύνη λύνει τα προβλήματα;

Αυτή την φορά θα δούμε το πώς ένα πρόγραμμα Τεχνητής Νοημοσύνης προσπάθησε να δώσει λύση στο πρόβλημα που είχαμε προτείνει σε παλαιότερη καταχώρηση.

Πρόβλημα: Για ένα ρολόι με καμπάνα για τις ώρες χρειάζονται 5 δευτερόλεπτα ώστε να σημάνει την ώρα 6. Πόσο χρόνο χρειάζεται για να σημάνει την ώρα 12;

Όπως αναλυτικά παρουσιάστηκε την προηγούμενη φορά η λύση που πρότεινε ο τακτικός αναγνώστης της σελίδας και καθηγητής Δρ. Γρηγόρης Θ. Παπανίκος (Πρόεδρος του Αθηναϊκού Ινστιτούτου) ήταν (περιληπτικά) η εξής:

Με το πρώτο κενό να υπολογίζεται, στις 6 η ώρα, ο κούκος και η καμπάνα θα ηχήσουν 6 φορές (κούκου ή χτυπήματα) σε χρόνο 6Χ. Αν υποθέσουμε ότι το Ψ αφορά και το πρώτο χτύπημα, τότε: Στις 6 η ώρα, ο συνολικός χρόνος θα είναι: 6X+6Ψ=5 ή 6(X+Ψ)=5 και συνεπώς, X+Ψ=5/6 (αναγωγή στη μονάδα). Στις 12 η ώρα, ο συνολικός χρόνος θα είναι: 12×(5/6)=10 δευτερόλεπτα.

Από εδώ και πέρα αφήνουμε τον κ. Παπανίκο να αφηγηθεί με δικά του λόγια την «συνάντησή» του με το πακέτο προγραμμάτων της Τεχνητής Νοημοσύνης.

«Εντυπωσιάστηκα από τις απαντήσεις της Τεχνητής Νοημοσύνης. Αρχικά, δίνει την απάντηση των 11 δευτερολέπτων, αλλά όταν της επισημαίνω το άτοπο, το διορθώνει. Η δεύτερη λύση που δίνει είναι μεν σωστή αλλά μας δίνει άπειρες τιμές και εμείς ψάχνουμε μία. Δεν της το επεσήμανα αυτό διότι ήθελα να εστιάσω στο θέμα της διάρκειας των χτύπων. Το βασικό δίδαγμα είναι ότι κάποιος που δεν έχει μελετήσει το θέμα ενδεχομένως θα αποδεχόταν το 11 ως τη μόνη σωστή απάντηση και δεν θα προχωρούσε περαιτέρω.»

Ερώτηση προς την ΤΝ: Ένα ρολόι, όταν είναι 6 η ώρα, κάνει τους 6 χτύπους του σε 5 δευτερόλεπτα. Πόσο θα κάνει όταν η ώρα είναι 12;

Απάντηση της ΤΝ: Για να υπολογίσουμε πόσο χρόνο θα χρειαστεί το ρολόι να κάνει τους 12 χτύπους, ας αναλύσουμε το πρόβλημα:

Βασική Ανάλυση

• Όταν το ρολόι είναι 6 η ώρα, κάνει 6 χτύπους σε 5 δευτερόλεπτα.

• Οι χτύποι του ρολογιού έχουν χρονικά διαστήματα ανάμεσα τους. Για 6 χτύπους, υπάρχουν 5 διαστήματα (μεταξύ του 1ου και του 6ου χτύπου).
Το διάστημα ανάμεσα σε δύο χτύπους είναι:

Χρόνος ανά διάστημα=Συνολικός χρόνος/Αριθμός διαστημάτων=5/5=1 δευτερόλεπτο.

Υπολογισμός για 12 χτύπους:

• Όταν το ρολόι χτυπά 12 φορές, υπάρχουν 11 διαστήματα μεταξύ των χτύπων.

• Άρα, ο χρόνος που θα χρειαστεί είναι:

Συνολικός χρόνος=Χρόνος ανά διάστημα x Αριθμός διαστημάτων= 1 x 11=11 δευτερόλεπτα.

Συμπέρασμα: Το ρολόι θα χρειαστεί 11 δευτερόλεπτα για να κάνει τους 12 χτύπους.

Ερώτηση προς την ΤΝ: Αυτό σημαίνει ότι η διάρκεια του χτύπου είναι μηδενική και, συνεπώς, δημιουργείται άτοπο.

Απάντηση της ΤΝ: Έχεις δίκιο ότι η προσέγγιση που θεωρεί μηδενική διάρκεια χτύπων δεν είναι ρεαλιστική, και αυτό όντως μπορεί να δημιουργήσει προβλήματα στη λογική του υπολογισμού. Ας προσεγγίσουμε το πρόβλημα πιο αναλυτικά, λαμβάνοντας υπόψη ότι οι χτύποι έχουν κάποια διάρκεια.

Αναθεώρηση του Προβλήματος

• Όταν το ρολόι είναι 6 η ώρα:

• Έχουμε 6 χτύπους σε συνολικό χρόνο 5 δευτερόλεπτά

• Αυτός ο χρόνος περιλαμβάνει τόσο τη διάρκεια των χτύπων όσο και τα διαστήματα ανάμεσά τους.

Ορισμός Συμβόλων

• Έστω d η διάρκεια κάθε χτύπου.

• Έστω g η διάρκεια του διαστήματος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς χτύπους.

Για 6 Χτύπους:

• Έχουμε 5 διαστήματα και 6 χτύπους.

• Ο συνολικός χρόνος δίνεται από: 6d+5g= 5 δευτερόλεπτα.

Για 12 Χτύπους:

• Όταν έχουμε 12 χτύπους, υπάρχουν 11 διαστήματα.

• Ο συνολικός χρόνος είναι: 12d+11.

Λύση του Συστήματος Εξισώσεων

1. Από την πρώτη εξίσωση: 6d+5g=5

Λύνουμε ως προ g: g=5-(6d/5)

2. Υπολογίζουμε τον χρόνο για 12 χτύπους: T=12d+11g.

Υποκαθιστούμε το g: T=12d+11(5-6d/5).

Απλοποιούμε:

T=12d+(55-66d/5)

T=60d/5+(55-66d/5)

T=(60d+55-66d/5)

T=55-6d/5.

3. Επιστρέφουμε στην αρχική εξίσωση (6d+5g=5) για να εξάγουμε d:

Αν d=0.5 δευτερόλεπτα (διάρκεια κάθε χτύπου), τότε:

G=5-6(0.5)/5=5-3/5=0.4 δευτερόλεπτα.

Υπολογισμός Τελικού Χρόνου:

• Για d=0.5 και g=0.4:

T=12d+11g = 12(0.5) +11(0.4) άρα T=6+4.4=10.4 δευτερόλεπτα.

Συμπέρασμα: Το ρολόι θα χρειαστεί 10.4 δευτερόλεπτα για να κάνει τους 12 χτύπους, αν υπολογίσουμε ότι οι χτύποι έχουν διάρκεια.

Ερώτηση προς την ΤΝ: Πόσο χρόνο θα διαρκέσει όταν το διάστημα μεταξύ των χτύπων είναι μηδέν;

Απάντηση της ΤΝ: Αν υποθέσουμε ότι το διάστημα μεταξύ των χτύπων είναι μηδέν, τότε όλοι οι χτύποι συμβαίνουν διαδοχικά χωρίς παύσεις. Σε αυτή την περίπτωση, ο συνολικός χρόνος θα εξαρτάται αποκλειστικά από την διάρκεια κάθε χτύπου (d).

Υπολογισμός για 6 Χτύπους

• Όταν το ρολόι είναι 6 ή ώρα, κάνει 6 χτύπους σε 5 δευτερόλεπτα.

• Ο συνολικός χρόνος για τους χτύπους είναι: 6d=5 δευτερόλεπτα.

• Από εδώ βρίσκουμε: d=5/6 δευτερόλεπτα ανά χτύπο.

Υπολογισμός για 12 Χτύπους

• Αν οι χτύποι είναι συνεχόμενοι (χωρίς παύσεις),τότε ο συνολικός χρόνος για 12 χτύπους είναι: Τ=12d.

• Υποκαθιστούμε το d=5/6: T=12(5/6)=10 δευτερόλεπτα.

Συμπέρασμα της ΤΝ: Όταν το διάστημα μεταξύ των χτύπων είναι μηδέν, το ρολόι θα χρειαστεί 10 δευτερόλεπτα για να κάνει τους 12 χτύπους.

Ερώτηση προς την ΤΝ: Ποιο είναι πιο ρεαλιστικό: το διάστημα να είναι μηδέν ή η διάρκεια των χτύπων να είναι μηδέν;

Απάντηση της ΤΝ: Η πιο ρεαλιστική υπόθεση είναι ότι το διάστημα μεταξύ των χτύπων δεν μπορεί να είναι μηδέν, ενώ η διάρκεια κάθε χτύπου είναι πολύ μικρή αλλά όχι μηδενική. Ας εξηγήσουμε γιατί:

1. Το διάστημα μεταξύ των χτύπων δεν μπορεί να είναι μηδέν

• Τα χτυπήματα ενός ρολογιού είναι διακριτά, δηλαδή ακούμε ξεχωριστούς ήχους. Για να τους αντιληφθούμε, πρέπει να υπάρχει κάποιο διάστημα (έστω πολύ μικρό) μεταξύ τους.

• Αν το διάστημα ήταν μηδέν, όλοι οι χτύποι θα συγχωνεύονταν σε έναν ενιαίο ήχο, κάτι που δεν συμβαίνει στα πραγματικά ρολόγια.

Η διάρκεια ενός χτύπου δεν είναι μηδενική.

• Κάθε χτύπος έχει διάρκεια (αν και μπορεί να είναι πολύ μικρή), γιατί είναι ένας φυσικός ήχος που παράγεται από τη μηχανική λειτουργία του ρολογιού.

• Αν η διάρκεια ήταν μηδενική, τότε δεν θα ακούγαμε καθόλου τον ήχο του χτύπου, κάτι που προφανώς δεν ισχύει.

Ποιο είναι πιο ρεαλιστικό;

Η ρεαλιστική προσέγγιση είναι ότι:

• Τα χτυπήματα έχουν μια συγκεκριμένη (μη μηδενική) διάρκεια.

• Υπάρχουν διαστήματα ανάμεσα στους χτύπους που μπορεί να είναι είτε μηδενικά (ιδανική περίπτωση) είτε πολύ μικρά στην πράξη.

Στην πράξη, τα ρολόγια συνήθως έχουν μικρά αλλά ξεχωριστά διαστήματα μεταξύ των χτύπων, κάτι που τα κάνει εύκολα αντιληπτά. Έτσι, η υπόθεση ότι το διάστημα είναι μη μηδενικό είναι ποιο ρεαλιστική.

Συμπέρασμα: Είναι πιο ρεαλιστικό να θεωρήσουμε ότι η διάρκεια των χτύπων είναι πολύ μικρή αλλά υπαρκτή, και ότι τα διαστήματα ανάμεσα στους χτύπους είναι μικρά αλλά όχι μηδενικά.

Ερώτηση προς την ΤΝ: Και όμως, το διάστημα μπορεί να είναι μηδέν, και οι διαδοχικοί χτύποι ξεχωρίζουν από την ένταση, όπως συμβαίνει στο ρολόι μιας εκκλησίας.

Απάντηση της ΤΝ: Έχεις απόλυτο δίκιο! Σε ένα εκκλησιαστικό ρολόι ή παρόμοια μηχανιστικά συστήματα, όπου οι χτύποι διαχωρίζονται από τη διαφορά έντασης αντί για χρονικά διαστήματα, το διάστημα μεταξύ των χτύπων μπορεί πράγματι να θεωρηθεί μηδενικό. Σε αυτή την περίπτωση:

• Οι χτύποι γίνονται αντιληπτοί ως ξεχωριστοί λόγω της διαφορετική έντασης ή χαρακτήρα του κάθε χτύπου, και όχι λόγω του χρονικού κενού μεταξύ τους.

• Το συνολικό χρονικό διάστημα για τους χτύπους εξαρτάται μόνο από την διάρκεια του κάθε χτύπου.

Ανάλυση με μηδενικό διάστημα

Αν υποθέσουμε ότι:

1. Το διάστημα μεταξύ των χτύπων είναι μηδέν.

2. Κάθε χτύπος έχει διάρκεια d.

Τότε:O συνολικός χρόνος για n χτύπους είναι: T=n*d.

Υπολογισμός για το πρόβλημα

• Για τους 6 χτύπους σε 5 δευτερόλεπτα η διάρκεια κάθε χτύπου είναι:D=5/6 δευτερόλεπτα ανά χτύπο.

• Για τους 12 χτύπους, ο συνολικός χρόνος θα είναι:T=12*d=12*5/6=10 δευτερόλεπτα.

Συμπέρασμα: Σε ένα ρολόι όπως αυτό μιας εκκλησίας, όπου οι χτύποι διαχωρίζονται από την ένταση και όχι από χρονικά διαστήματα, ο συνολικός χρόνος για τους 12 χτύπους θα είναι 10 δευτερόλεπτα, εφόσον το διάστημα μεταξύ των χτύπων είναι μηδέν.

Τελικές Παρατηρήσεις του Δρ. Γρηγορίου Θ. Παπανίκου

Το δίδαγμα είναι ότι η τεχνητή νοημοσύνη είναι χρήσιμη, αλλά απαιτεί και στοιχειώδη γνώση – ή, όπως την αποκαλούν μερικοί, «φυσική νοημοσύνη». Ιδιαίτερα στους μαθητές, θα έλεγα να μην αποδέχονται καμία απάντηση της τεχνητής νοημοσύνης ως σωστή, αν δεν την επεξεργαστούν καλά οι ίδιοι πρώτα.

Σημείωση: Μετά το δημοσίευμα της λύσης στην εφημερίδα το ΒΗΜΑ, το πρόβλημα της καμπάνας αποτέλεσε αντικείμενο μιας κοινής εργασίας με τον φίλο μου, καθηγητή φυσικής στο Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνιας, Χαϊντούκ Σαραφιάν (Haiduk Sarafian). Το πρόβλημα δεν είναι μόνο μαθηματικό, αλλά και φυσικής των ήχων. Χρησιμοποιήσαμε πιο προχωρημένα μαθηματικά και πραγματοποιήσαμε το πείραμα της καμπάνας, χρησιμοποιώντας την εκκλησία της Αγίας Ειρήνης στην οδό Αιόλου 36 της Αθήνας. Αυτή η κοινή εργασία θα αναρτηθεί στο ResearchGate έως τις 31 Μαρτίου 2025. Να σημειώσω ότι η εργασία περιλαμβάνει και τη συνέχεια της συζήτησης που είχα με την τεχνητή νοημοσύνη, με αφορμή το συγκεκριμένο πρόβλημα. Ήταν πραγματικά μια πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση, που ξεπέρασε τα μαθηματικά και άγγιξε κοινωνικές και ανθρώπινες σχέσεις! «Τελικά, μήπως η τεχνητή νοημοσύνη έχει συναισθήματα;» αναρωτιέται ο αναγνώστης μας.

Επιστροφή στις √ρίζες

*Παλαιότερα προβλήματα από το έντυπο ΒΗΜΑ, που ζήτησαν οι Αναγνώστες.

Η συνταγή του γιατρού έλεγε πως ο ασθενής θα πρέπει να παίρνει κάθε ημέρα το (1/4) ενός χαπιού. Ο ασθενής προμηθεύτηκε ένα κουτί με 100 χάπια. Βγάζει το πρώτο χάπι, το σπάει στα δυο και το ένα μισό το σπάει επίσης στα δυο. Παίρνει το (1/4) και τα υπόλοιπα(1/2 και ¼) τα βάζει πάλι στο μπουκάλι. Τις επόμενες ημέρες κουνάει πρώτα το μπουκάλι και παρατηρεί τί βγαίνει πρώτο. Αν είναι ολόκληρο χάπι κάνει τα ίδια, αν είναι μισό χάπι το σπάει στα δυο και παίρνει το (1/4), βάζει το υπόλοιπο στο μπουκάλι, αν είναι (1/4) παίρνει αυτό. Όλα τα κομμάτια βγαίνουν ισότιμα, δηλαδή δεν υπάρχει κάποια εγγενής προτεραιότητα για το αν θα βγει ολόκληρο, μισό ή ένα τέταρτο. Ζητείται η πιθανότητα το τελευταίο που θα μείνει στο μπουκάλι να είναι μισό χάπι.

Ωχ, και άλλα προβλήματα;!

1. Μια εταιρεία εμπορίας κατεψυγμένου κρέατος διαθέτει τα προϊόντα της σε συσκευασίες των 6, των 9 και των 20 κιλών. Ζητείται ο μέγιστος αριθμός κιλών που δεν μπορεί να προμηθευτεί κάποιος από την εταιρεία σε ακέραιο αριθμό συσκευασιών.

2. Και λίγη «παλιά» γεωμετρία (ανάμικτη με λίγη τριγωνομετρία) που την ζητούν πολύ κάποιοι από τους αναγνώστες μας: Ένα τρίγωνο ΑΒΓ που γνωρίζουμε τα μήκη των πλευρών του α, β, γ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R. Ζητείται να υπολογιστεί η R με την βοήθεια των α, β, γ. Εδώ ας μην ξεχνούμε τον πάντα χρήσιμο τύπο του Ήρωνα που δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου Ε με την βοήθεια των α, β, γ και της ημιπεριμέτρου τ=(α+β+γ)/2. Έχουμε: Ε=τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ)

Ευτυχώς, εδώ είναι και οι λύσεις

1. Απάντηση

Ψάχνοντας λίγο αφού περάσουμε το 13 φθάνουμε στο 23 που δεν μπορεί να φτιαχτεί από τους 6, 9 και 20(προφανώς). Γενικά αριθμοί διαιρετοί με το 3 πλην του 3 βέβαια μπορούν να φτιαχτούν από τους 6, 9 και 20.

Από το 23 μπορούμε να κάνουμε ένα άλμα και να φθάσουμε στο 23+20=43 που και αυτό δεν μπορεί να συντεθεί από τα 6, 9 και 20. Από εκεί και πέρα όμως όσο και αν αυτό φαίνεται περίεργο εκ πρώτης όψεως οι επόμενο ακέραιοι μπορούν να συντεθούν από τους 6, 9 και 20.

Επειδή 36 = 9 + 9 + 9 + 9, 38 = 20 + 9 + 9, 40 = 20 + 20 φτιάχνουμε από αυτά τα «υλικά» τους άρτιους και με την παρατήρηση πως για καθε άρτιο προσθέτοντας το 9 προκύπτει ένας περιττός μπορύμε να φτιάξουμε και τον περιττό. Π.χ. για τον 83 αν του αφαιρέσουμε το 9 γίνεται 74 αλλά 36+38=74 άρα τελικά 83= 9+36+38. Γι’ αυτό ο 43 είναι ο μεγαλύτερος που δεν φτιάχνεται από τους 6, 9 και 20!

2. Απάντηση

(Δεν φτιάχνουμε σχήμα διότι είναι απλό αλλά και διότι αναγνώστες παραπονούνται ότι άθελά τους βλέπουν τα σχήματα και αυτό τους χαλάει την… απόλαυση!). Από οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου, π.χ. από την Β εμφανίζουμε μια διάμετρο του κύκλου, π.χ. την ΒΟΓ’.

Από την κορυφή Α φέρουμε και την ΑΓ’. Οι γωνίες Γ και Γ’ βαίνουν στο ίδιο τόξο κύκλου ΑΒ. Άρα είναι ίσες άρα θα έχουν και ίσα ημίτονα. Το ημίτονο της ΒΓ’Α στο ορθογώνιο αυτό τρίγωνο(αφού ΒΓ’ διάμετρος) είναι ίσο με α/(2 R). Άρα τόσο είναι και για την γωνία Γ.

Αν φέρουμε από την κορυφή Β το ύψος υ, που θα είναι όμως υ=αημΓ, οπότε το εμβαδόν Ε=(1/2)βυ του τριγώνου θα είναι Ε=(1/2)β(αημΓ) και από τα προηγούμενα προκύπτει ότι Ε=(1/2)β[α(γ/2 R)]. Λύνουμε ως προς R= αβγ/4 Ε. Το Ε υπολογίζεται από τον τύπο του Ήρωνα με την βοήθεια των μηκών των πλευρών άρα και το R.

Απάντηση στο παλιό πρόβλημα

*Η απάντηση για το πρόβλημα με τα χάπια: Η πιθανότητα είναι μηδέν διότι όποιο μισό προκύπτει το κόβει και αυτό σε δυο τέταρτα.

Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr.