Εκφώνηση

Για ένα ρολόι με καμπάνα για τις ώρες χρειάζονται 5 δευτερόλεπτα για να σημάνει την ώρα 6. Πόσο χρόνο χρειάζεται για να σημάνει την ώρα 12; Μπορεί να είναι 11 δευτερόλεπτα η απάντηση;

Η λύση που είχαμε προτείνει τότε ήταν η εξής: Για τα 6 χτυπήματα της καμπάνας μεσολαβούν 5 διαστήματα ανάμεσά τους συνολικά. Άρα για να διαρκούν οι 6 χτύποι 5 δευτερόλεπτα σημαίνει πως το κάθε χρονικό διάστημα μεταξύ των δυο χτύπων θα έχει διάρκεια (5 sec)/(5 χτυπήματα) = 1 δευτερόλεπτο ανά χτύπημα. Στις 12 έχουμε για τα 12 χτυπήματα να μεσολαβούν 11 διαστήματα άρα για τους 12 χτύπους θα περάσουν 11 x 1 = 11 δευτερόλεπτα.

Μετά την δημοσίευση αυτής της λύσης λάβαμε το παρακάτω μήνυμα από τον Καθηγητή Δρ. Γρηγόρη Θ. Παπανίκο (Πρόεδρο του Αθηναϊκού Ινστιτούτου):

«Είμαστε 4 φίλοι οικονομολόγοι (ο ένας είναι και νομικός) άνω των 60 ετών έκαστος που για να αποφύγουμε τη γεροντική άνοια ασχολούμαστε και με μαθηματικές σπαζοκεφαλιές. Επειδή «κοκορεύομαι» ότι ξέρω κάτι μαθηματικά (επιπέδου γυμνασίου-λυκείου) μου έθεσαν ένα πρόβλημα και μετά μου αποκάλυψαν ότι το βρήκαν στο ΒΗΜΑ. Η προτεινόμενη λύση είναι λανθασμένη εκτός αν ο χρόνος χτυπήματος του ρολογιού είναι μηδέν. Με άλλα λόγια δεν μπορεί τα 6 χτυπήματα να γίνουν με 1 δευτερόλεπτο κενό διότι υποθέτετε ότι η διάρκεια του κάθε χτυπήματος είναι μηδέν, που δεν μπορεί να είναι. Φυσικά δεν μετράτε και το χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ του μηδέν και του πρώτου χτυπήματος που είναι πολύ σημαντικό όπως εξηγώ στην επισυναπτόμενη λύση μου.

Η λύση όπως μας την έστειλε ο αναγνώστης μας ήταν η εξής:

Δεδομένα

1. Ο χρόνος των κούκου του ρολογιού ή των χτυπημάτων της καμπάνας είναι σταθερός και μη μηδενικός, έστω Χ > 0. Αν δεν είναι, αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν κούκου και δεν ακούγονται χτυπήματα, δηλαδή το πρόβλημα δεν υφίσταται. Δεν λέω ότι «δεν ακούγονται», διότι κάποιος μπορεί να είναι κουφός. Φυσικά, υποθέτουμε ότι το πείραμα λαμβάνει χώρα σε ένα γήινο περιβάλλον, το οποίο επιτρέπει στο ανθρώπινο αυτί να αντιλαμβάνεται ήχους.

2. Ο χρόνος μεταξύ των κούκου του ρολογιού ή των χτυπημάτων της καμπάνας είναι σταθερός και μεγαλύτερος ή ίσος με το μηδέν, έστω Ψ ≥ 0. Αν Ψ = 0, τότε οι ήχοι διακρίνονται από την έντασή τους: ο πρώτος ξεκινά δυνατά και φθίνει – όπως ο ήχος της καμπάνας της Μητρόπολης – και, πριν σβήσει τελείως, ξεκινά ο επόμενος χτύπος, επίσης δυνατός στην αρχή, με την ίδια φθίνουσα ένταση.

Πιθανές Λύσεις με βάση κάποιες υποθέσεις

Λύση Α. Το πρώτο κενό υπολογίζεται

Στις 6 η ώρα, ο κούκος και η καμπάνα θα ηχήσουν 6 φορές (κούκου ή χτυπήματα) σε χρόνο 6Χ. Αν υποθέσουμε ότι το Ψ αφορά και το πρώτο χτύπημα, τότε: Στις 6 η ώρα, ο συνολικός χρόνος θα είναι: 6X+6Ψ=5 ή 6(X+Ψ)=5 και συνεπώς, X+Ψ=5/6 (αναγωγή στη μονάδα). Στις 12 η ώρα, ο συνολικός χρόνος θα είναι: 12×(5/6)=10 δευτερόλεπτα.

Συμπέρασμα: Σε αυτή την περίπτωση, ο συνολικός χρόνος δεν μπορεί να είναι 11 δευτερόλεπτα, καθώς αυτό οδηγεί σε άτοπο: αν Ξ = Α, τότε υποχρεωτικά 2Ξ = 2Α.

Λύση Β. Το πρώτο κενό δεν υπολογίζεται

Στις 6 η ώρα θα έχουμε 6Χ + 5Ψ = 5 και Στις 12 η ώρα θα έχουμε 12Χ + 11Ψ = 11. Λύνοντας ως προς Χ, από την πρώτη εξίσωση έχουμε ότι Χ = 5/6(1-Ψ) και αντικαθιστώντας στη δεύτερη έχουμε: 10(1-Ψ) + 11Ψ = 11 ή Ψ = 1

(Σημείωση: Κάποιος θα υποθέσει ότι εδώ υποκρύπτεται και διαίρεση με το μηδέν όταν Ψ=1 και θα έχει δίκιο).

Πόσο είναι όμως το Χ; Αντικαθιστώντας σε μία από τις δύο εξισώσεις, βρίσκουμε ότι το σύστημα των εξισώσεων – δηλαδή το να ολοκληρώνονται οι δώδεκα χτύποι ή τα δώδεκα κούκου σε 11 δευτερόλεπτα – συμβαίνει μόνο όταν Χ = 0 δευτερόλεπτα. Δηλαδή, όταν ο κούκος δεν κάνει κούκου και η καμπάνα δεν ηχεί. Άτοπο.

Λύση Β. Κανένα κενό δεν υπολογίζεται

Αν δεν υπάρχουν κενά, τότε Ψ=0 και 6Χ = 5 και 12Χ=10 δευτερόλεπτα.

Άρα η σωστή απάντηση είναι 10 δευτερόλεπτα.

Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, η απάντηση δεν μπορεί να είναι 11 δευτερόλεπτα. Η μόνη λύση θα ήταν να αλλάξουμε τη σταθερότητα του χρόνου των χτυπημάτων και των παύσεων. Όμως, σε αυτή την περίπτωση, το πρόβλημα θα ήταν ότι η καμπάνα είναι ελαττωματική και ο κούκος… βραχνιάζει εύκολα. Μαθηματικά μπορεί να υπολογισθεί, όπως εξηγώ σε άρθρο μου με τον καθηγητή του πανεπιστημίου της Πενσυλβάνιας Χαϊντούκ Σαραφιάν.

Ένας πρακτικός τρόπος για να το καταλάβει κάποιος είναι να αναρωτηθεί γιατί, όταν η NASA μετράει αντίστροφα ξεκινώντας από το 10, η εκτόξευση γίνεται μόλις φτάσει στο μηδέν. Ένας άλλος, συναφής τρόπος είναι να μαγνητοσκοπήσουμε το γεγονός και μετά να το παίξουμε ανάποδα, ξεκινώντας από τον 7ο χτύπο και κάτω. Ένας τρίτος τρόπος είναι να αναρωτηθούμε γιατί, όταν για έναν αγώνα τρεξίματος που κάναμε παιδιά, μετράγαμε 1, 2, 3, και μετά λέγαμε «Μαρς!»;Όλα αυτά οφείλονται στη δύναμη που έχει το μηδέν (…και το άπειρο) να ανατρέπει όλη τη λογική. Επί του θέματος, χρήσιμο είναι το βιβλίο του CharlesSeife (2000), Zero: TheBiographyofaDangerousIdea.

*Σημείωση της εφημερίδας: Η βασική μας διαφορά με την παραπάνω λύση φαίνεται να είναι πως δεν λάβαμε υπόψη την διάρκεια του κάθε χτύπου. Το ότι ο αναγνώστης μας θέλησε να παρουσιάσει μια λύση που θα συμπεριλάμβανε και αυτήν την παράμετρο το θεωρήσαμε μια πολύ ευπρόσδεκτη προσφορά εκ μέρους του προς όποιον άλλο φίλο των μαθηματικών προβλημάτων ενδιαφέρεται και παρακολουθεί αυτή την σελίδα.
Όμως ακόμη περισσότερο ενδιαφέρον έχει η συνέχεια. Διότι ο αναγνώστης μας έθεσε το θέμα και σε ένα πακέτο με λογισμικό Τεχνητής Νοημοσύνης (ΤΝ). Στο επόμενο θα έχουμε πλήρη περιγραφή σχετικά με το τί διημείφθη μεταξύ τους και πιστέψτε με οι διάλογοί τους είναι πράγματι εξαιρετικά συναρπαστικοί. Μην τους χάσετε…
.

Επιστροφή στις √ρίζες

*Παλαιότερα προβλήματα από το έντυπο ΒΗΜΑ, που ζήτησαν οι Αναγνώστες.

1. Ένα τεπόζιτο όταν είναι γεμάτο με νερό ζυγίζει 190 κιλά και όταν είναι μισογεμάτο ζυγίζει 140 κιλά. Πόσο είναι το βάρος του όταν είναι άδειο;

Απάντηση: Αν χ είναι το βάρος το τεπόζιτου και β το βάρος του νερού όταν είναι γεμάτο θα ισχύουν οι εξής δυο σχέσεις: χ+β = 190 (1) και χ+(β/2)=140 (2). Η (2) γράφεται και ως 2χ+β=280 ή χ+(χ+β)=280 και λόγω της (1) δίνει χ=90 κιλά.

2. Μας δίδεται η παράσταση Π: 38Ζ18+βΖ9+70. Γι αυτήν την παράσταση η (κΖ9+ρ) είναι παράγοντας(δηλαδή αν αναλυθεί η Π σε γινόμενο παραγόντων θα είναι ένας από αυτούς), με κ,ρ ακεραίους. Ζητείται η μέγιστη τιμή του β.

Απάντηση: Δεν πρόκειται για κάτι τόσο τρομερό όσο φαίνεται εκ πρώτης όψεως. Αρκεί να παρατηρήσει κάποιος ψύχραιμα ότι 18=2×9. Άρα αν θέσουμε Ζ9=Χ τότε προκύπτει η 38Χ2+βΧ+70=0. Ως δευτεροβάθμια εξίσωση γνωρίζουμε πως μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο δυο παραγόντων που μας δίδεται μάλιστα ο ένας. Άρα θα έχουμε 38Χ2+βΧ+70= (κΧ+ρ)(ΝΧ+μ). Δηλαδή 38Χ2+βΧ+70=[κΝΧ2+(κμ+ρΝ)Χ+ρμ]. Άρα κΝ=38 (1), (κμ+ρΝ)=β (2) και ρμ=70 (3). Από την (1) μπορούμε να υποθέσουμε ότι (κ=38, Ν=1) ή και ότι (κ=19, Ν=2) και από την (3) ότι (ρ=1, μ=70) ή ότι (μ=35, ρ=2). Για να αποκτήσει το β την μεγαλύτερη δυνατή τιμή από την (2) προκύπτει ότι πρέπει να επιλέξουμε (κ=19, μ=70, ρ=1, Ν=1) που δίνει β= (35×70 +1×1)=2261.

Ωχ, και άλλα προβλήματα;!

1. Μας δίδεται το γινόμενο (χ-α)(χ-β)(χ-γ)…(χ-ψ)(χ-ω). Αποτελείται από 24 τουλάχιστον παρενθέσεις αυτής της μορφής όπου οι 24, ίσως και παραπάνω, παράμετροι α, β, γ,…, ω έχουν αντληθεί και από τα 24 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου. Μπορεί να γίνει έστω κάποια προσεγγιστική εικασία για το αποτέλεσμα αυτού του γινομένου;

2. Μια στρατιωτική μπάντα όταν παρατάσσεται σε τριάδες μένει ένα άτομο μόνο του. Όταν παρατάσσεται σε τετράδες μένουν δυο άτομα που δεν θα ανήκουν σε τετράδα. Σε πεντάδες, τρία άτομα δεν θα ανήκουν σε πεντάδα και σε εξάδες τέσσερα άτομα δεν θα ανήκουν σε εξάδα. Σε επτάδες δεν μένει κάποιος μετέωρος. Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθμός των μελών της μπάντας.

3. Πέντε παιδιά, Κώστας, Λευτέρης, Μιχάλης, Νίνα, Ξένια από διάφορες πόλεις κάθονται σε ένα στρογγυλό τραπέζι. Οι πόλεις τους (αλλά όχι αντίστοιχα) είναι Αράχοβα, Βέροια, Γαλαξίδι, Δράμα και Ερμούπολη. Το παιδί από την Αράχοβα κάθεται ανάμεσα στον Μιχάλη και στο παιδί από την Ερμούπολη. Κανένα από τα κορίτσια δεν κάθεται μετά τον Λευτέρη. Ο Κώστας κάθεται ανάμεσα στην Ξένια και το παιδί από την Δράμα. Ο Μιχάλης αλληλογραφεί κάποιες φορές με το παιδί από το Γαλαξίδι. Ποιες είναι οι πόλεις καταγωγής των παιδιών ακολουθώντας την φορά των δεικτών του ρολογιού;

Ευτυχώς, εδώ είναι και οι λύσεις

1. Απάντηση

Η απάντηση δεν θα είναι κατά προσέγγιση αλλά με ιδιαίτερη ακρίβεια. Και αυτό συμβαίνει διότι ένας από τους όρους θα είναι και ο (χ-χ) που θα είναι μηδέν Κι επομένως ολόκληρο το γινόμενο θα μηδενιστεί!

2. Απάντηση

Ξεκινούμε από τις τριάδες. Για να μένει υπόλοιπο 1 ο αριθμός των μελών της μπάντας μπορεί να είναι 4, 7, 10, 13, 16, …Επειδή όμως όταν παρατάσσεται κατά τετράδες μένουν δυο άτομα ο μικρότερος αριθμός μελών είναι το 10. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 3 και 4 είναι το 3×4 = 12. Άρα οι αριθμοί που δίδουν υπόλοιπο 1 κατά την διαίρεση με 3 και 2 κατά την διαίρεση με 4, μπορεί να είναι οι 10, 22, 34, 46, 58, 60,… με διαφορά 12. Ο μικρότερος αριθμός που όταν διαιρεθεί με το 5 δίνει υπόλοιπο 3 είναι ο 58. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 3, 4 και 5 είναι ίσο με 60, άρα οι αριθμοί που δίδουν αυτό το υπόλοιπο αρχίζοντας από το 58 θα έχουν διαφορά 60 άρα πρόκειται για τους 58, 118, 178, 238, 298,… Από αυτούς υπόλοιπο 1 όταν διαιρείται με το 7 δίδει ο 238. Αυτός είναι και ο αριθμός των μελών της μπάντας!

3. Απάντηση

Ο Λευτέρης δεν κάθεται δίπλα σε κορίτσι. Άρα τα τρία αγόρια κάθονται το ένα μετά το άλλο. Με τον Λευτέρη στην μέση. Η Ξένη είναι ακριβώς πριν από τον Κώστα και η Νίνα μετά τον Μιχάλη. Αρχίζοντας από την Ξένια και πηγαίνοντας με τους δείκτες του ρολογιού τα παιδιά κάθονται ως εξής: Ξένια- Κώστας-Λευτέρης-Μιχάλης-Νίνα. Αφού ο Κώστας κάθεται ανάμεσα στην Ξένια και το παιδί από την Δράμα ο Λευτέρης είναι από την Δράμα. Το παιδί από την Αράχοβα κάθεται μεταξύ του Μιχάλη και του παιδιού από την Ερμούπολη άρα η Νίνα είναι από την Αράχοβα και η Ξένια από την Ερμούπολη. Ο Μιχάλης δεν κατάγεται από το Γαλαξίδι Άρα ο τόπος του είναι η Βέροια και του Κώστα το Γαλαξίδι.

Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr.