Εχουμε μια επιτροπή με 6 μέλη που πρόκειται να αποφασίσει για την έγκριση κάποιας δαπάνης αλλά δεν βρίσκονται στον ίδιο χώρο. Πρέπει να ψηφίσουν με Ναι, Όχι και Αποχή, αλλά το τί θα ψηφίσει ο καθένας θέλουν να μείνει μυστικό.

Γνωρίζουν αρκετά Μαθηματικά ώστε κάνουν το εξής: Πρόεδρος είναι ο Α1 και μέλη οι Α2, Α3, Α4, Α5, Α6. Υποθέτουμε πως ψηφίζουν Ναι οι Α2, Α5 και Α6. Οχι οι Α1, Α4 και Αποχή ο Α3. Στο Ναι αντιστοιχούν τον αριθμό 7, στο Οχι τον αριθμό 1 και στην Αποχή το 0.

Ο πρόεδρος, ο Α1 επιλέγει έναν αρκετά μεγάλο αριθμό, π.χ. 7923. Το στέλνει με email στον Α2. Προσθέτει 7923+7=7930 και αυτόν τον αριθμό στέλνει στον Α3. Που δεν γνωρίζει από ποιον αριθμό άρχισε η ψηφοφορία.

Προσθέτει το 0 διότι ψηφίζει Αποχή και στέλνει το 7930 στον Α4. Αυτός προσθέτει 1, οπότε έχουμε 7931, ο Α1 προσθέτει 7 και το 7938 φθάνει στον τελευταίο τον Α6 , προστίθενται άλλα 7 και ο Α1 λαμβάνει τον 7945, προσθέτει την δική του μονάδα και έχει στην οθόνη του τον αριθμό 7946. Αφαιρεί από αυτόν τον αρχικό 7923 και στο υπόλοιπο, τον αριθμό 23, περιέχονται όλες μαζί οι ψήφοι. Διαιρεί πρώτα το 23 με το 79ακέραια διαίρεση) και βρίσκει 3 και υπόλοιπο 2. Ανακοινώνει ότι 3 ψήφισαν Ναι, 2 Οχι και 1 απείχε.

Πώς κατέληξε σε αυτό; Γιατί το Ναι να αντιστοιχεί στο 7;

Το 7 είναι κατά μια μονάδα μεγαλύτερο από τον αριθμό αυτών που ψηφίζουν. Αν π.χ. είχαν χρησιμοποιήσει το 6 για το Ναι τότε 6 ψήφοι Οχι ή 1 ψήφος Ναι και 5 αποχές θα έδιναν τον αριθμό 6. Οπότε πώς θα τα ξεχώριζαν; Γενιά με την μέθοδο αυτήν χρησιμοποιούμε για το Ναι μια μονάδα παραπάνω από τον αριθμό των συμμετεχόντων και 1 για το Οχι.

Υπάρχει τρόπος κάποιοι να παραβιάσουν την μυστικότητα; Ναι, αν επικοινωνήσουν π.χ. ο Α3 με τον Α5 και συγκρίνουν τους αριθμούς που προκύπτουν. Τότε βρίσκουν τί ψήφισε ο Α4. Μπορεί κάτι να γίνει γι’ αυτό; Αν στέλνουν πίσω τον αριθμό στον Πρόεδρο, και εκείνος με τυχαία σειρά στέλνει στον επόμενο, αλλά τότε εύκολα ο πρόεδρος μπορεί να ξέρει τί ψήφισε ο καθένας.

Επιστροφή στις √ρίζες

Παλαιότερα προβλήματα από το έντυπο ΒΗΜΑ, που ζήτησαν οι Αναγνώστες.

Να βρεθεί ο αριθμός που το τελευταίο του ψηφίο δεξιά είναι 4 και όταν αυτό το 4 το πάρουμε από εκεί και το τοποθετήσουμε ως πρώτο ψηφίο αριστερά ο νέος αριθμός είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερος από τον προηγούμενο.Εξαιτίας αυτού του τελευταίου εξετάζουμε το αποτέλεσμα με τον πολλαπλασιασμό με το 4.

Απάντηση: Ξεκινούμε από το τελευταίο ψηφίο του ζητούμενου αριθμού και παρατηρούμε τι γίνεται αν αρχίσουμε να κάνουμε πολλαπλασιασμό με το 4. Έχουμε 4 Χ 4 = 16 άρα το προτελευταίο ψηφίο θα είναι το 6 και θα έχουμε το 1 ως κρατούμενο. Συνεχίζουμε κάνοντας το ίδιο: 4 Χ 6 = 24 + 1 = 25. Στην συνέχεια 4 Χ 5 = 20 . Συν 2 το κρατούμενο = 22. Κρατούμε το 2 και το 2 ως κρατούμενο. 4 Χ 2 = 8 συν 2 = 10. Κρατούμε το 0 και έχουνε το 1 ως κρατούμενο. Τέλος 4 Χ 0 = 0 συν 1 = 1. Άρα ο αριθμός είναι: 102564

Ωχ, και άλλα προβλήματα;!

1. Σε αγώνα τοξοβολίας 15 βέλη ρίχτηκαν προς τον ίδιο στόχο. Το καθένα ανάλογα πού πέφτει δίνει 3, 5 ή 7 βαθμούς. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους τα 15 βέλη θα δώσουν άθροισμα βαθμών ίσο με 75;

2. Επτά νομίσματα τοποθετούνται με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν το κεφαλαίο γράμμα Η. Δηλαδή τρία αριστερά τρία δεξιά και ένα στην μέση

*      *

*  *  *

*      *

Θέλουμε τοποθετώντας άλλα δυο νομίσματα με τον κατάλληλο τρόπο να μπορούμε να σύρουμε 10 ευθείες που να περιέχουν η κάθε μια από 3 και μόνον τρία νομίσματα. Υπάρχουν περισσότεροι από έναν τρόποι;

3. Πόσες φορές μέσα σε έναν χρόνο μπορεί να τύχει να έχουμε Παρασκευή και 13;

Ευτυχώς, εδώ είναι και οι λύσεις

1. Απάντηση

Ας είναι χ ο αριθμός των βελών που δίνουν 3 βαθμούς εκεί όπου έπεσαν, ψ τα βέλη που δίνουν από 5 βαθμούς και ζ αυτά που δίνουν 7 βαθμούς. Δημιουργούμε το εξής σύστημα εξισώσεων:
χ+ψ+ζ =15 (1)

3χ+5ψ+7ζ=75 (2)

Με χ, ψ, ζ, >=0. Λύνουμε το σύστημα: ζ= 15-χ-ψ από την (1) και αντικαθιστώντας στην (2), κάνουμε τι πράξεις για να καταλήξουμε στην 2χ+ψ=15 ή ψ=15-2χ (3)
Αντικαθιστούμε το ψ στην ζ= 15-χ-ψ και καταλήγουμε στην ζ=χ (4)

Εδώ τώρα θέλει προσοχή: Πρέπει χ,ψ,ζ να είναι θετικοί ή μηδέν. Άρα η (3) δίνει: 0=<ψ=15-2χ δηλαδή χ<= 7,5. Και επειδή ζ>=0 το χ θα παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 7.

Θα πρέπει τώρα να εξετάσουμε για κάθε μια τιμή του χ τί γίνεται. Προφανώς έχουμε 8 τέτοιες τιμές: 0,1,2,3,4,5,6,7. Κάποιος μπορεί να σταματήσει αφού κάνει τις αντικαταστάσεις για να βρει ψ και ζ. Μπορύμε όμως να προχωρήσουμε για να υπολογίσουμε για κάθε τιμή των χ, ψ , ζ με πόσους τρ΄πους τα διαφορετικά βέλη θα μπορούσαν να κατανεμηθούν επάνω στον στόχο.

Εδώ κάτι ιδιαίτερα χρήσιμο, που δεν τονίζεται όσο πρέπει νομίζω στην διδασκαλία είναι πως όταν έχουμε μια εξίσωση της μορφής χ+ψ+ζ=15 οι συνδυασμοί προκύπτουν από τον τύπο: (15!)/(χ!)(ψ!)(ζ!).

Παράδειγμα: Για χ=0 θα πάρουμε ότι ψ=15 και ζ=0. Άρα θα έχουμε 15 βέλη των 5 βαθμών. Αυτά μπορούν να κατανεμηθούν στον στόχο μόνον με (15!)/(0!)(15!)(0!)= 1 τρόπο.
Για χ=1 προκύπτει ότι ζ=13 και ψ=1. Και οι τρόποι θα είναι (15!)/(1!)(1!)(13!) =15. Δηλαδή τα διάφορα βέλη αν τα είχαμε αριθμήσει θα μπορούσαν να πέσουν με 15 διαφορετικούς συνδυασμούς στον στόχο.

Όποιος έχει την υπομονή να προχωρήσει και στις υπόλοιπες τιμές του χ θα καταλήξει πως οι διαφορετικοί τρόποι θα είναι το άθροισμα των:

1+15+105+455+1365+3003+5005+6435=10984

2. Απάντηση

Αρκεί να τοποθετήσουμε τα δυο επιπλέον νομίσματα(+) στις παρακάτω θέσεις

*      *
+

*  *  *

+

*      *

Ή και εντελώς εκτός:

              *      *    +

        *  *  *

   +   *       *

3. Απάντηση

Ας ξεκινήσουμε εξετάζοντας τί συμβαίνει όταν το έτος δεν είναι δίσεκτο. Και παίρνουμε μια τυχαία ημερομηνία: Ότι 13 Ιανουαρίου ήταν Κυριακή Μέχρι την 13 Φεβρουαρίου μεσολαβούν 31 ημέρες δηλαδή 4 εβδομάδες και 3 ημέρες άρα 13 Φεβρουαρίου θα πέφτει Τετάρτη. Μετά από τις ακριβώς 28 ημέρες(=4 εβδομάδες) του Φεβρουαρίου πάλι 13 Μαρτίου θα είναι Τετάρτη. Προχωρώντας έτσι μέσα στους 12 μήνες του χρόνου οι ημέρες για την 13 θα είναι: Κυριακή, Τετάρτη, Τετάρτη, Σάββατο, Δευτέρα, Πέμπτη, Σάββατο, Τρίτη, Παρασκευή, Κυριακή, Τετάρτη, Παρασκευή. Παρατηρούμε ότι μέσα στον χρόνο πέφτει Τετάρτη 13 σε τρεις μήνες και μια φορά Δευτέρα, Τρίτη, Πέμπτη. Επειδή εντελώς τυχαία διαλέξαμε μια ημερομηνία(Κυριακή 13 Ιανουαρίου) το ίδιο θα ισχύει αν ξεκινούσαμε από κάποια Παρασκευή. Άρα μέσα στον χρόνο το πολύ να πέσει 3 φορές Παρασκευή και 13(Το ίδιο και για Τρίτη και 13).

Μπορείτε να στείλετε τις απορίες, τις λύσεις και τις επισημάνσεις σας στον Άλκη Γαλδαδά στην διεύθυνση algaldadas@yahoo.gr.