Mαθηματικά : Δυο αρνήσεις – μια κατάφαση – Γιατί πλην επί πλην κάνει συν

Ενα από τα κρατούμενα της προηγούμενης εβδομάδας πρέπει να είναι το ότι «Ολοι κατέχουμε (μέσα στο μυαλό μας) κάποιο είδος άξονα, με τους αριθμούς απλωμένους επάνω του». Και στον άξονα αυτόν οι άνθρωποι κατάφεραν να έχουν τακτοποιήσει όχι μόνο τους θετικούς αριθμούς δεξιά από το μηδέν αλλά και τους αρνητικούς αριστερά από το μηδέν. Ενα εξαιρετικό νοητικό επίτευγμα που όμως «επιβάλλεται» να προκαλέσει σε όποιον έρχεται σε επαφή ταυτόχρονα με αρνητικούς και θετικούς αριθμούς πολλές απορίες.

Αναφέρθηκε ήδη το πόσο μάς λύνει τα χέρια η μοναδική ιδιότητα (που συνδέει πρόσθεση και πολλαπλασιασμό): Α x (Β + Γ) = (Α x Β) + (Α x Γ). Οντας τόσο απλή και κατανοητή ώστε κάποιοι από εμάς μπορεί να μην εκτίμησαν την αξία της όσο πρέπει. Αμέσως τώρα όμως θα μας βοηθήσει να βεβαιωθούμε ότι το γινόμενο ενός θετικού αριθμού επί έναν αρνητικό «οφείλει» να δίνει αποτέλεσμα με πρόσημο αρνητικό: 2x [3 + (-3)] = (2 x 3) + [2 x (-3)], αλλά 3 + (-3) = 0, οπότε 2 x (-3) = -(2 x 3) άρα 2 x (-3) = -6, και έτσι προκύπτει πως το γινόμενο θετικού με αρνητικό πρέπει να έχει αρνητικό πρόσημο. Και αυτό θα είναι πολύτιμο εργαλείο για να επιβεβαιώσουμε κάτι που καταπίνεται στο σχολείο αμάσητο. Το ότι «πλην επί πλην κάνει συν».

Στοχασμοί και αποδείξεις

Είναι κάτι που εκτός σχολείου περιστοιχίζεται από ένα πυκνό νέφος στοχασμών και αποδείξεων. Από το ό,τι πιο παράδοξο έως το πλέον μαθηματικό. Ενας συλλογισμός που δεν θα έπρεπε (κατά τη γνώμη μου) να διδαχθεί ποτέ σε σχολείο είναι ο εξής: Θεωρήστε, λέει, ότι ένας φίλος αντιπροσωπεύει μια θετική ποσότητα, ένας εχθρός αρνητική ποσότητα. Ενα καλό συμβάν αντιστοιχεί σε θετικό πρόσημο, ένα κακό σε αρνητικό. Κάτι θετικό που συμβαίνει σε έναν φίλο είναι κάτι σαν το γινόμενο συν επί συν.

Κάτι θετικό που συμβαίνει σε έναν εχθρό μπορεί να αντιστοιχηθεί με το πλην επί συν, που δημιουργεί τελικά αρνητικά συναισθήματα. Οταν μαθαίνουμε για ένα αρνητικό συμβάν σε φίλο, πάλι αυτό θα αφήσει αρνητική εντύπωση. Και, εδώ είναι η κορύφωση του συλλογισμού, το αρνητικό σε έναν εχθρό θα μας ευχαριστήσει (!!!;;;), οπότε του βάζουμε θετικό πρόσημο.

Ενας ακόμα φιλολογικός στοχασμός είναι ο εξής: Από έναν ανεξάντλητο φούρνο δίνω σε κάποιον 10 μπισκότα κάθε μήνα επί 6 μήνες. Αυτός παίρνει 10 x 6 = 60 (συμβολικά συν επί συν = συν). Εγώ χάνω 10 κάθε μήνα, άρα στο εξάμηνο είναι -10 x 6 = -60 (συμβολικά πλην επί συν = πλην).

Πριν από έξι μήνες, που θα συμβολιστεί με το -6, αυτός ο κάποιος είχε 60 λιγότερα και αυτό προκύπτει αν βάλουμε 10 x (-6) = -60 ή συν επί πλην θα δίνει πλην. Τέλος, πριν από έξι μήνες πόσα είχα; Χάνοντας κάθε μήνα -10 επί έξι μήνες στο παρελθόν ισχύει: -10 x (-6 ) = 60 μπισκότα, που είχα να τα διαθέσω όταν ξεκίνησα αυτό το (νοητικό) πείραμα.

Η καθαρά αλγεβρική απόδειξη

Αν αυτά φαίνονται σοφιστείες, υπάρχει και η καθαρά αλγεβρική (αλλά σίγουρα «ευριστική») απόδειξη: Αρχίζουμε από την παράσταση
a x b + a x (-b) + (-a) x (-b).

Για το κομμάτι [a x (-b) + (-a) x (-b)] έχουμε ότι είναι ίσο με (-b) x [a + (-a)] = 0, οπότε αυτό το τριώνυμο δίνει ως τιμή a x b. Αν όμως στο ίδιο τριώνυμο ξεκινήσουμε από τους δύο πρώτους όρους, τότε έχουμε: a x [b + (-b)] που δίνει 0, οπότε προκύπτει ως τιμή του τριωνύμου το γινόμενο (-a) x (-b). Από την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης όμως a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c), οπότε αναγκαστικά a x b = (-a) x (-b).