Την προηγούμενη φορά επιβεβαιώσαμε το ότι ένας ακέραιος που υψώνεται στη μηδενική δύναμη θα πρέπει να θεωρούμε ότι ισούται με τη μονάδα, ότι είναι ισοδύναμο το να λες πως υψώνεις έναν πραγματικό αριθμό εις την ½ με το να αναζητήσεις την τετραγωνική του ρίζα, και ακόμη ότι και το 0 εις τη μηδενική δύναμη τείνει προς μια τιμή πολύ κοντά στη μονάδα, άρα συμβατικά θα θεωρούμε πως μπορεί να έχει κάποιο νόημα η ισότητα 0 0 = 1 αρκεί να μένουμε προσεκτικά μέσα στους πραγματικούς αριθμούς (διότι υπάρχει ακριβώς δίπλα και ένα άλλο «δάσος», το πεδίο των φανταστικών ή μιγαδικών αριθμών με κάποιους δικούς του κανόνες, που μας υποχρεώνουν να ασχοληθούμε μαζί του ξεχωριστά).
Το μηδέν είναι υπεύθυνο για κάποιες τέτοιες ιστορίες διότι πρόκειται για ένα περίεργο και άγριο πλάσμα της ανθρώπινης σκέψης, που δεν πρέπει να χάνεις τον έλεγχό του. Ούτε να το προσπερνάς στα γρήγορα, όταν διδάσκεις, σαν να φοβάσαι ότι θα σε δαγκώσει.
«Αγριες» ιστορίες
Μια ιστορία λοιπόν με ήρωα το μηδέν αρχίζει όταν φθάσουμε να σκεπτόμαστε όπως και ο υπολογιστής! Οτι η διαίρεση είναι διαδοχικές αφαιρέσεις. Δηλαδή για να βρούμε το 15/5 μπορούμε να κάνουμε το εξής: 15 – 5 = 10, 10 – 5 = 5, 5 – 5 = 0. Τρεις αφαιρέσεις, άρα 15/5 = 3. Αν όμως είχαμε 15/0; Τι θα κάναμε; Οι αφαιρέσεις 15 – 0 – 0 – 0 – 0… δεν οδηγούν κάπου.
Ας ξεκινήσουμε αλλιώς. Με ό,τι πιο απλό, με το κλάσμα (1/1) = 1. Συνεχίζουμε βάζοντας διαδοχικά ως παρονομαστές τα 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001, και παρατηρούμε πως παίρνουμε αντίστοιχα 1, 10, 100, 1.000, 10.000 και αν συνεχίσουμε τα αποτελέσματα τείνουν σε κάτι πολύ μεγάλο όσο ο παρονομαστής πλησιάζει στο μηδέν. Ας το πούμε «άπειρο» αυτό το όριο. Αν όμως πάρουμε και το κλάσμα (2/1) και αρχίσουμε να μικραίνουμε τον παρονομαστή, θα πάρουμε αντίστοιχα 2, 20, 200, 2.000, 20.000, άρα πάλι στο άπειρο θα καταλήξουμε. Αν όμως μπούμε στον πειρασμό να βάλουμε (1/0) = ∞ και (2/0) = ∞, αν και το άπειρο δεν είναι καν αριθμός, θα είμαστε υποχρεωμένοι να εξισώσουμε: (1/0) = (2/0) που δίνει το απαράδεκτο 1 = 2.
Για τον λόγο αυτόν το σωστό είναι όχι να πούμε πως η διαίρεση διά του μηδενός είναι αδύνατη αλλά ότι δεν είναι (καν) προσδιορίσιμη και δεν επιτρέπουμε να εισχωρεί στους υπολογισμούς και στις διερευνήσεις μας. Και αυτό ας μη συγχέεται με μια διαίρεση της μορφής: (0/1) ή (0/2), (0/3) κ.λπ. Ολα αυτά τα κλάσματα είναι ίσα με μηδέν και για να το καταλάβουμε αρκεί απλώς να σκεφθούμε πως το να μοιράσουμε 0 πράγματα σε 1,2 ή 3 ανθρώπους δίνει μηδενικό αποτέλεσμα.
Πνευματική γυμναστική
1. Ενα αγόρι και ένα κορίτσι κάθονται στο παγκάκι ενός πάρκου. Το άτομο που έχει μαύρα μαλλιά λέει: «Είμαι αγόρι». Το άτομο που έχει ξανθά μαλλιά λέει: «Είμαι κορίτσι». Αν είναι σίγουρο ότι τουλάχιστον το ένα από τα δύο άτομα λέει ψέματα, να προσδιοριστεί ποιο είναι το αγόρι και ποιο το κορίτσι.
2. Εχουμε ένα τροποποιημένο τραπέζι του μπιλιάρδου με οπές μόνο στις τέσσερις γωνίες. Ξεκινώντας από τη θέση ακριβώς μπροστά από την κάτω αριστερή οπή, με τη στέκα αναγκάζουμε μια μπάλα να ακολουθήσει ευθύγραμμη τροχιά, σε γωνία 45 μοιρών, ως προς την οριζόντια πλευρά. Αν οι διαστάσεις του τραπεζιού είναι 9 μονάδες για το μήκος και 7 μονάδες για το πλάτος, δεν υπάρχουν τριβές και οι ανακλάσεις της μπάλας είναι τέλειες, θα καταλήξει η μπάλα σε κάποια από τις οπές και αν ναι σε ποια;
