Πανελλαδικές 2020: Προτεινόμενο διαγώνισμα Μαθηματικών (Θετικού προσανατολισμού)

Για την καλύτερη προετοιμασία των υποψηφίων ενόψει των πανελλαδικών εξετάσεων το vima.gr παρουσιάζει προτεινόμενα θέματα για τα υπό εξέταση μαθήματα.

Παρακάτω μπορείτε να δείτε προτεινόμενο διαγώνισμα Μαθηματικών Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ  ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

Θεμα Α 

Α1.  Έστω συνάρτηση  .  Να δείξετε ότι η  f  είναι παραγωγίσιμη στο    με   .                Μονάδες 8

Α2.  Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.                     Μονάδες 5

Α3.  « Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων  f, g  με     και  ,  είναι    ».

Να χαρακτηρίσετε την παραπάνω πρόταση, γράφοντας στο τετράδιο σας το χαρακτηρισμό  Σωστή, αν είναι σωστή, ή το χαρακτηρισμό Λανθασμένη, αν είναι λανθασμένη  (Μονάδα 1).   Κατόπιν αιτιολογήστε την απάντηση που δώσατε.  (Μονάδες 3)                                                                                                                                                       (Μονάδες 4)

Α4.  Σημειώστε Σωστό ή  Λάθος στις παρακάτω προτάσεις:

Μονάδες 8

(α)   Η εφαπτομένη της    σε σημείο    έχει με την γραφική παράσταση    τουλάχιστον ένα κοινό σημείο.

(β)   Αν  f  συνεχής συνάρτηση στο διάστημα  ,  τότε το σύνολο τιμών του παραπάνω διαστήματος θα είναι ανοικτό διάστημα.

(γ)   Αν    σημείο της γραφικής παράστασης μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης  f,  τότε θα είναι  .

(δ)   Αν είναι     τότε  .

_ _ _ _

Θεμα Β

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση    ώστε να ισχύουν:

,

Β1.  Να δείξετε ότι η  C_F  διέρχεται από το σημείο  . Μονάδες 4

Β2.  Να προσδιορίσετε την εξίσωση της εφαπτομένης της  C_F  στο σημείο  .                                                                                          Μονάδες 4

Β3.  Να δείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση    τέμνει την  C_F  σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη  .                                     Μονάδες 5

Β4.  Αν η    είναι συνάρτηση γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό    στο οποίο η συνάρτηση F παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.       Μονάδες 6

_ _ _ _

Θεμα Γ

Ευθεία  ε  περιστρέφεται γύρω από το σημείο της    διατηρώντας θετικό το συντελεστή διεύθυνσής της  λ,  ο οποίος μεταβάλλεται με ρυθμό  4  μονάδες το λεπτό.  Κατά την διάρκεια της περιστροφής, η  ε  τέμνει τους άξονες στα σημεία  Α  και  Β.

Γ1.  Να υπολογίσετε το ρυθμό που μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου  ΟΑΒ,  τη στιγμή   κατά την οποία η ευθεία  ε  διέρχεται από το σημείο  .   Μονάδες 7

Κατά την παραπάνω χρονική στιγμή    η ευθεία  ε  εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης    στο σημείο  Ρ.

Γ2.  Να προσδιορίσετε τις τιμές  των  μ, ν.                       Μονάδες 6

Γ3.  Αν    να δείξετε ότι η  f  αντιστρέφεται και να προσδιορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση.                                                  Μονάδες 6

Γ4.  Να προσδιορίσετε την συνάρτηση    που είναι η σύνθεση της    με την    και να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων    στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

Μονάδες 6

_ _ _ _

Θεμα Δ

Δινεται η συνάρτηση με τύπο  .

Δ1.  Να μελετήσετε την  φ  ως προς την μονοτονία.             Μονάδες 6

Δ2.  Να δείξετε ότι η εξίσωση    έχει μοναδική λύση  .    Μονάδες 6

Δ3.  Δείξτε ότι για κάθε σημείο    της γραφικής παράστασης της  φ,  απέχει από την ευθεία    απόσταση

Μονάδες 6

Δ4.  Να προσδιορίσετε το σημείο  Κ  της γραφικής παράστασης της  φ,  στο οποίο η παραπάνω απόσταση από την ευθεία    γίνεται  ελάχιστη. Μονάδες 7

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Θεμα Α 

Α1.  Σχολικό απόδειξη σελίδας 116

Α2.  Σχολικό ορισμός σελίδας 51

Α3.  Λανθασμένη γιατί π.χ.  αν    τότε

Αλλά το όριο    δεν υπάρχει αφού τα πλευρικά του δεν είναι ίσα.

Α4.  (α) Σωστό,  (β) Λάθος,  (γ) Σωστό,  (δ) Λάθος

Θεμα Β 

Β1.  Έστω      με  x  κοντά στο 0.  Τότε είναι   και  .

Η F είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη:

.

Άρα το (0,0)  ανήκει στη γραφική παράσταση της  F.

Β2.: H εφαπτομένη έχει εξίσωση:

Από  (1)  είναι

Β3.  Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση .  Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον   ώστε  .

Έτσι η ευθεία με εξίσωση    τέμνει την  C_F  σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη  .

Β4.  Είναι  . Έτσι εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle  στη  F  στο  .  Υπάρχει τουλάχιστον ένα    έτσι ώστε  .  Όμως η    γνησίως αύξουσα με αποτέλεσμα

Άρα η  F  παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση    που είναι μοναδικό.

_ _ _ _ _ _ _

Θεμα Γ 

Γ1.  Τα μεταβλητα μεγέθη που θα μας απασχολήσουν είναι το εμβαδόν Ε  και ο συντελεστής διεύθυνσης λ της ευθείας ε.

Η ευθεία ε έχει εξίσωση:

(1)

Η ε τέμνει τους άξονες στα σημεία Α, Β.

Η (1) για   δίνει    και πάλι η (1) για   δίνει  .

Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι

.

Για κάθε χρονική στιγμή t  είναι     και τότε

Τη στιγμή  t₀  που η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Κ είναι

Επομένως

Γ2.  Στο σημείο επαφής  Ρ  ισχύουν:

Από (2), (3) προκύπτει:

Γ3.  Είναι    συνεχής στο   ως σύνθεση συνεχών με  .  Άρα η  f  είναι γνησίως αύξουσα στο    και έτσι είναι 1-1.  Άρα αντιστρέφεται.

Άρα η αντίστροφη είναι

Γ4.  Γνωρίζουμε ότι

Άρα η ζητούμενη σύνθεση ορίζεται και έχει τύπο

Η γραφική παράσταση της  f  σχεδιάζεται, αφού μεταφέρουμε κατά 5 μονάδες αριστερά την γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης  .

Επίσης η αντίστροφη έχει γραφική παράσταση συμμετρική της    ως προς την διχοτόμο της 1^ης και 3^ης γωνίας των αξόνων.

_ _ _ _ _ _ _

Θεμα Δ 

Δ1.  φ συνεχής ως άθροισμα συνεχών με .  Άρα φ γνησίως αύξουσα στο ¡.

Δ2.    και

Έτσι το σύνολο τιμών είναι

Έτσι υπάρχει μοναδικό    ώστε

Δ3.  Κάθε σημείο    της    απέχει από την ευθεία  ε  απόσταση

Αν    τότε

Για   ,   ενώ για   .

Στο    παρουσιάζει ελάχιστη τιμή  .

Δηλαδή         (1)

Δ4.    με

Έτσι    και

Άρα η απόσταση    γίνεται ελάχιστη για .

Τότε το σημείο είναι

 Επιμέλεια :   Γρηγόρης Μπαξεβανίδης, Μαθηματικός

Με συνεργασία του φροντιστηρίου Ορόσημο Πειραιά