Τα Μαθηματικά που ονειρευόμαστε

Κάποιος που έχει αρχίσει μια από εκείνες τις αυστηρές δίαιτες γιατί πρόλαβε ήδη να τα… φάει όλα στη διάρκεια των εορτών αγοράζει σε τιμή ευκαιρίας τρεις χοντρές φέτες ζαμπόν γαλοπούλας που ζυγίζουν όλες μαζί 1/3 του μισού κιλού. Η αυστηρή διατροφολόγος όμως του επιτρέπει να τρώει μέσα στην ημέρα 1/4 του μισού κιλού. Πόσες φέτες λοιπόν από την ποσότητα που αγόρασε επιτρέπεται να φάει για να μην καταπατήσει από την πρώτη ημέρα τη δίαιτά του; Αν στην κάβα του έχει ένα βαρελάκι με κρασί και δύο δοχεία, ένα των 5 λίτρων και ένα των 3 λίτρων, με ποιους συνδυασμούς θα γεμίσει εντελώς μια νταμιτζάνα των 4 λίτρων; Και αν το ίδιο βράδυ ήλθαν στο σπίτι 5 φίλοι του, παράγγειλε μια πίτσα που κόπηκε στα πέντε, πήραν οι τρεις από ένα κομμάτι και τότε καταφθάνουν απρόσκλητοι άλλοι δύο, τότε τι κάνει;

Μέσα στη χρονιά που τελειώνει, στο Παρίσι, μια από τις πιο ενδιαφέρουσες εκθέσεις ήταν αυτή με τον τίτλο «Mathematics: Α beautiful elsewhere». Δηλαδή, τα Μαθηματικά σαν ένα όμορφο αλλού, και εκεί εκτέθηκαν έργα τέχνης που ως πηγή έμπνευσης οι δημιουργοί τους είχαν κάτι από τον ατελείωτο κόσμο των Μαθηματικών. Εξισώσεις, μέθοδοι σκέψης, σχήματα από τις δύο και τις τρεις διαστάσεις. Ερευνητές που είχαν τα Μαθηματικά ως εργαλείο δουλειάς και μέσο για να κερδίζουν τον επιούσιο, όπως ο βραβευμένος με το Abel Prize του 2009, ο ρωσικής καταγωγής γεωμέτρης Μίσα Γκρόμοφ, ο γάλλος αστροφυσικός Μισέλ Κασέ, ο διευθυντής έρευνας του CNRS Ζαν-Πιερ Μπουργκινιόν, ο Μπρους Αλμπερτ, ανθρωπολόγος, μελετητής των Ινδιάνων Yanomami του Αμαζονίου, κάθησαν μέσα σε δύο χρόνια αρκετές φορές στο ίδιο τραπέζι με καλλιτέχνες όπως ο ιάπωνας διάσημος σκηνοθέτης Τακέσι Κιτάνο, η ποιήτρια και μουσικός Πάτι Σμιθ, ο φωτογράφος Χιρόσι Σουγκιμότο, ο ζωγράφος, μουσικός και βραβευμένος στις Κάννες το 1990 αμερικανός σκηνοθέτης Ντέιβιντ Λιντς.

Ενας Σαμάνος μάλιστα της φυλής των Yanomami, όταν είδε στην οθόνη του υπολογιστή την απεικόνιση κάποιων εξισώσεων, ρώτησε με αφέλεια τον χειριστή: «Ονειρεύεσαι αρκετά; Από τι να είναι φτιαγμένα τα όνειρά σου;».Τα αποτελέσματα αυτής της συνεργασίας δεν ήταν μόνο τα έργα που προέκυψαν και τα οποία απόλαυσαν οι επισκέπτες της έκθεσης. Ηταν και η άποψη που προσπάθησαν να περάσουν. Οτι τα Μαθηματικά δεν είναι ένα υλικό άξιο να διακινείται μόνο από τα μέλη μιας κλειστής και προικισμένης αδελφότητας (σήμερα η κοινότητα των μαθηματικών υπολογίζεται ότι ανέρχεται στις 100.000 περίπου, όταν π.χ. αυτή των βιολόγων ξεπερνά τα 2 εκατομμύρια). Δεν πρέπει λοιπόν οι άλλοι απ’ έξω να ακούν «Μαθηματικά» και να το βάζουν στα πόδια, κυνηγημένοι από τραυματικές εμπειρίες που είχαν όσο ήταν «κλεισμένοι» στα τείχη μιας αυστηρής και άτεγκτης σχολικής εκπαίδευσης.

Στο ίδιο μήκος κύματος είναι και η προσπάθεια εδώ και περίπου πέντε χρόνια στη Βρετανία για βελτίωση της διδασκαλίας των Μαθηματικών στα σχολεία της μέσης εκπαίδευσης. Οι άνθρωποι εκεί τρομοκρατήθηκαν από το ότι στις γνωστές διεθνείς εξετάσεις όπου αξιολογούνται οι επιδόσεις πολλών κρατών στο μάθημα αυτό το Ηνωμένο Βασίλειο από την 8η θέση που κατείχε το 2000 είχε πέσει στην 24η το 2007. Αυτό το αποτέλεσμα συνδυάστηκε με την πρόβλεψη για 20 εκατομμύρια μελλοντικές θέσεις εργασίας, αλλά για ποιους; Για ανθρώπους ικανούς να λύνουν προβλήματα και υπάρχει η εκτίμηση ότι με την υπάρχουσα κατάσταση μόνο το 20% αυτών των θέσεων θα είναι δυνατόν να πληρωθούν από ανθρώπους με τα απαιτούμενα προσόντα!

Στις Ηνωμένες Πολιτείες σχετική έρευνα από τους Forman και Steen αναφέρει ότι ακόμη και στον Τύπο όσοι γράφουν αναφέρονται συνεχώς σε ισοζύγια πληρωμών, πιθανότητες αλλαγής του καιρού, παγκόσμια υπερθέρμανση, πληθωρισμό, αλλά και οι σχετικές παρουσιάσεις βασίζονται σε γραφήματα, «πίτες», γραφικές παραστάσεις. Εκεί επίσης, από το 2001, γίνεται λόγος για τη δεξιότητα στα Μαθηματικά ως ακόμη ένα «πολιτικό δικαίωμα» (Moses and Cobb, «Radical Equations: Math, Literacy and Civil Rights»). Ισως και γιατί οι αμερικανοί εκπαιδευτικοί τρομοκρατήθηκαν όταν έθεσαν το ερώτημα πόσα λεωφορεία των 50 θέσεων χρειάζονται για να μεταφέρουν 1.123 στρατιώτες και πήραν στις περισσότερες των περιπτώσεων την απάντηση (της διαίρεσης 1.123/50=) 22.46, αντί για τη ρεαλιστική: 23 λεωφορεία. Εχει όμως αρχίσει να γίνεται σε αυτές τις χώρες δουλειά. Αντίθετα από εμάς που αφήσαμε στη μέση μια προσπάθεια με υπολογιστικές μηχανές στην τάξη, χωρίς καμία σκέψη συλλογικής εργασίας την ώρα των Μαθηματικών και με εξοστρακισμό της Γεωμετρίας, εκείνοι έφθασαν στο σημείο να «βλέπουν» οι μαθητές τους τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας τουβλάκια ή ξύλινους κύβους , ενώ απορρίπτουν προβλήματα του τύπου «ένας εργάτης τελειώνει ένα έργο σε πέντε ώρες και ένας άλλος σε 6, πόσο θα προχωρήσουν αν εργαστούν μαζί δύο ώρες», θεωρώντας ότι στη ζωή αλλάζουν οι συνθήκες στις δύο περιπτώσεις.

Επίσης κάνουν προσπάθειες να μην αποκλείονται οι γυναίκες από τα Μαθηματικά, ενώ στην τάξη προτρέπουν τους μαθητές όταν έχουν τελειώσει και βρει τη λύση να το δείχνουν υψώνοντας διακριτικά τον αντίχειρα και όχι να σηκώνουν προκλητικά το χέρι για να μην αισθάνονται μειονεκτικά απέναντί τους οι πιο αργοί από τους συμμαθητές τους. Η αγγλίδα καθηγήτρια της Διδακτικής των Μαθηματικών Jo Boaler στο βιβλίο της «The Elephant in the Classroom» περιγράφει τις προσπάθειες των τελευταίων χρόνων μέσα στην τάξη από μια μερίδα εκπαιδευτικών που κατάλαβαν ότι τα Μαθηματικά όπως διδάσκονται δημιουργούν όλο και μεγαλύτερους αποκλεισμούς.

Τα προβλήματα που έχουν να κάνουν με τις φέτες της γαλοπούλας και το κρασί δόθηκαν από καθηγητές των Μαθηματικών σε γονείς των οποίων τα παιδιά φοιτούσαν στο σχολείο, αλλά και στα ίδια τα παιδιά. Οι περισσότεροι γονείς αδυνατούσαν να βρουν τις λύσεις ή έκαναν το συνηθισμένο λάθος να πολλαπλασιάζουν, για παράδειγμα, το 1/3 με το 1/4 και δεν μπορούσαν να σκεφθούν ότι το νήμα ξετυλίγεται σωστά γεμίζοντας πρώτα το πεντόλιτρο και αδειάζοντας από αυτό τα 3 λίτρα στο μικρότερο δοχείο. Επιστρέφουμε τα 3 στο βαρέλι και αδειάζουμε τα 2 που έχουν μείνει στο τρίλιτρο, μετά μένουν πια δύο κινήσεις. Τα παιδιά τους όμως, ύστερα από τη σχετική δουλειά που είχε γίνει στην τάξη, τα κατάφερναν καλύτερα. Και όχι απαραιτήτως με πράξεις. Ενας της πέμπτης τάξης, στο πλαίσιο αυτού που λέμε «αριθμητική χωρίς πράξεις», βρήκε ότι 9 φέτες αντιστοιχούσαν στο μισό κιλό, ζωγράφισε λοιπόν εννέα μικρούς κύκλους (όσες και οι φέτες αυτές) μέσα σε ένα τετράγωνο 3Χ3 και χώρισε την εικόνα με ένα σταυρό στα τέσσερα. Και ήταν σαν να τους έλεγε «διαλέξτε τώρα λοιπόν το 1/4 που θέλετε»! Οσο για το πρόβλημα της πίτσας, τα Μαθηματικά της ζωής ακριβώς όπως και με το λεωφορείο δεν ασχολούνται με τα ψίχουλα, αλλά λένε ότι… παραγγέλνουμε άλλη μία ολόκληρη πίτσα για να είναι οι πάντες χορτάτοι. Χρειαζόμαστε λοιπόν επειγόντως να ξεφύγουμε από τη μηχανική και ευρετική διδασκαλία των Μαθηματικών στα παιδιά που τελικά μπορεί, αντί να τους κάνει καλό, αντί να τα εκπαιδεύει έστω, φθάνει στο σημείο ακόμη και να τα τραυματίσει, χωρίς φυσικά το παραμικρό όφελος.

Ταυτότητες, αλλιώς!
Η με διασκεδαστικό τρόπο απόδειξη ταυτοτήτων χωρίς πολύπλοκους υπολογισμούς φαίνεται καλά στο παρακάτω παράδειγμα: το άθροισμα (1+2+3+4+5+6+7+8)2 είναι ίσο με το άθροισμα των κύβων των αριθμών αυτών. Φτιάχνεις πρώτα ένα τετράγωνο με πλευρά 36, όσο το άθροισμά τους. Μέσα κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με 1 μονάδα. Δύο τετράγωνα με πλευρά ίση με δυο μονάδες και ούτω καθ’ εξής. Για το 2, το 4, το 6, το 8 υπάρχει μια μικρή επικάλυψη, που συμπληρώνει όμως ακριβώς τα κενά (με λευκό χρώμα). Ετσι σκεπάζεται όλη η επιφάνεια. Ισχύει ότι έχουμε 1Χ12 = 13, 2Χ22 = 23 κ.λπ., άρα το άθροισμά τους δίνει το δεύτερο μέλος της ταυτότητας!