Το παράδοξο των αρχών του 21ου αιώνα ήταν το ότι «όλα τα προβλήματα τα λύνει, ένα-ένα, η επιστήμη» εκτός… από την οικονομία. Ναι, με το συμπάθιο, φίλτατοι οικονομολόγοι: όλοι αναρωτιούνται τι τρέχει με την οικονομική επιστήμη και δεν μπορεί να βρει τι φταίει στο όλο σύστημα και η κρίση «θερίζει» συχνότερα από γρίπη. Ιδού όμως που εμφανίζεται από μηχανής θεός η μαθηματική επιστήμη: ένας νομπελίστας φυσικός, συνεργαζόμενος με τρεις μαθηματικούς, αναδίφησε τα κιτάπια του καπιταλισμού, του κυρίαρχου πλέον οικονομικού συστήματος του πλανήτη, και εντόπισε τα τρωτά του. Συγκεκριμένα βρήκε ότι η αστάθεια της οικονομίας οφείλεται στα ελλιπή μαθηματικά των θεμελιωτών της οικονομικής θεωρίας και λάθη «χαμένα στη μετάφραση». Καθώς ο ένας εκ των μαθηματικών που προέβησαν σε αυτή τη ρηξικέλευθη ανάλυση είναι Κύπριος, «Το Βήμα» έσπευσε να του ζητήσει εξηγήσεις και ερμηνείες. Διαβάστε στις σελίδες μας το τι μας φταίει κατά τη γνώμη του και τι μπορούμε να κάνουμε για να «ξανα-αποκτήσουμε μέλλον». Και όσοι οικονομολόγοι, τραπεζίτες και υπουργοί Οικονομικών δεν… φοβάστε τα μαθηματικά, διαβάστε τις τρεις απανωτές δημοσιεύσεις της εν λόγω ομάδας, μη τυχόν και έχουν δίκιο!

Αυτό που συνέβη στον δεύτερο μήνα του 2016 ήταν σίγουρα ένας διπλός θρίαμβος των μαθηματικών: από τη μία, οι μαθηματικές εξισώσεις που έγραψε ο Αϊνστάιν στη Θεωρία της Σχετικότητας πριν από έναν αιώνα δικαιώθηκαν τώρα πειραματικά με την ανίχνευση βαρυτικών κυμάτων· από την άλλη, οι εδώ και έναν αιώνα αποτυχημένοι πειραματισμοί των οικονομολόγων για αντιμετώπιση κρίσεων χωρίς την καταφυγή στο «γιατρικό του πολέμου» βρήκαν επιτέλους τη θεωρητική τους εξήγηση χάρη στα μαθηματικά –και πάλι. Η αντιδιαστολή είναι βέβαια τεράστια καθώς στην πρώτη περίπτωση η προφητική φυσική επωφελήθηκε και τώρα καλπάζει, ενώ στη δεύτερη η απονενοημένη οικονομία κατατροπώθηκε και τώρα όλοι υποφέρουμε.

Συνταγή παιγνίων με δόση χάους


Η εργασία που δημοσίευσαν στις 2 Φεβρουαρίου 2016 ο γερμανός μαθηματικός Ole Peters και ο αμερικανός φυσικός Murray Gell-Mann είχε έναν μάλλον μη αξιοπρόσεκτο τίτλο: «Αξιολόγηση παιγνίων μέσω δυναμικής» (Evaluating gambles using dynamics). Ακόμη και το επιστημονικό περιοδικό όπου τη δημοσίευσαν, το «Chaos», δεν ήταν οικονομικό αλλά περιοδικό για «μη γραμμικά δυναμικά συστήματα, νευρωνικά δίκτυα, ρευστοδυναμική, ανάλυση χρονοσειρών και άλλα». Ο Murray Gell-Mann όμως είναι ο νομπελίστας Φυσικής του 1969 που εισήγαγε τα κουάρκ στη θεωρία των στοιχειωδών σωματιδίων, οπότε αρκετοί έσπευσαν να διαβάσουν τι το νέο είχε βρει και… έπεσαν από τα σύννεφα.
Αυτό που εξηγούσε η εν λόγω εργασία ήταν ότι από την κρατούσα οικονομική θεωρία λείπει εξαρχής η παράμετρος του χρόνου. Ο τρόπος υπολογισμού του επιχειρησιακού κινδύνου στις επενδύσεις δεν παίρνει υπόψη του τις διαφοροποιήσεις που φέρνει ο χρόνος –πράγμα κατάλληλο ίσως για τις αργές οικονομικές εξελίξεις του 17ου αιώνα αλλά τελείως ανεπαρκές για το δυναμικό οικονομικό περιβάλλον της βιομηχανικής και μετα-βιομηχανικής εποχής του 20ού και του 21ου αιώνα. Δηλαδή, προκειμένου να σταθμίσουν οι θεμελιωτές της οικονομικής θεωρίας το αναμενόμενο κέρδος από μια επένδυση, εξέταζαν το πιθανό κέρδος σε έναν αριθμό σεναρίων και έβγαζαν τον μέσο όρο του. Αυτό όμως ήταν στατικό καθώς έβλεπαν τα διαφορετικά σενάρια ως «παράλληλους κόσμους» που δεν εξελίσσονταν χρονικά.
Πώς δραπέτευσε ο χρόνος από τη θεωρία


Από μαθηματικής σκοπιάς, την ελλιπή αυτή φόρμουλα εισήγαγε το 1738 ο Ολλανδός Daniel Bernoulli. Ο επίσης πασίγνωστος Γάλλος Pierre Laplace αντελήφθη το λάθος το 1814 και το σημείωσε αλλά –ευγενής ων –δεν το διατυμπάνισε. Το αποτέλεσμα ήταν να μην το προσέξει ο Αυστριακός Carl Menger το 1934 και να επανεισαγάγει το λάθος του Bernoulli στην οικονομική θεωρία. Η συνέχεια γράφτηκε από τη χαρακτηριστική α-γλωσσομάθεια των αμερικανών οικονομολόγων: διαβάζοντας μόνο τη σύνοψη της εργασίας του Μένγκερ και ποτέ το πλήρες περιεχόμενό της (στα γερμανικά), τη χρησιμοποιούσαν όλοι στη βιβλιογραφία τους χωρίς ποτέ να προσέξουν ότι… είχαν πάρει τον καπιταλισμό τους λάθος.
Αυτοματοποίηση της παραγωγής, υπερπληθυσμός και εξάντληση των φυσικών πόρων έχουν αρχίσει να επηρεάζουν την ανάπτυξη. Το πεπερασμένο του πλανήτη πρέπει να συμπεριληφθεί στους υπολογισμούς

Προσπαθώντας να μην υποπέσουμε στην απροσεξία των προαναφερθέντων εμείς διαβάσαμε προσεκτικά τόσο τη νυν εργασία όσο και τη βιβλιογραφία της. Και τότε αντιληφθήκαμε δύο τινά: αφενός ότι πίσω από τη δυναμική θεώρηση της οικονομικής θεωρίας κρυβόταν η «εργοδική υπόθεση» της θερμοδυναμικής και, αφετέρου, ότι πίσω από την αίγλη του ονόματος του αμερικανού νομπελίστα κρυβόταν το μαθηματικό εργαστήρι τριών φίλων (Alexander Adamou, Nicholas Moloney, Ole Peters) στο Λονδίνο, με έναν Κύπριο ανάμεσά τους!

Οπότε –τι πιο φυσικό –επικοινωνήσαμε με τον Αλέξη Αδάμου του London Mathematical Laboratory (LML) και του ζητήσαμε να μας εξηγήσει ο ίδιος το τι σημαίνουν τα όσα βρήκαν με μη μαθηματικούς όρους.
Ο πολλαπλασιασμός που μας αφήνει άφραγκους


Ο Αλέξανδρος Αδάμου σπούδασε Μηχανολογία και Ρευστομηχανική στα πανεπιστήμια Cambridge και Imperial College. Εξειδικεύτηκε στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και εργάστηκε στη ναυτιλία. Σήμερα είναι μέλος του Μαθηματικού Εργαστηρίου του Λονδίνου (LML) και ακαδημαϊκός επισκέπτης του Imperial College.
Τον ρώτησα εξαρχής αν η μόλις δημοσιευθείσα εργασία εντόπισε την αιτία που το παγκοσμίως κυρίαρχο οικονομικό σύστημα, ο καπιταλισμός, αδυνατεί να αντιμετωπίσει την κρίση. Χαμογέλασε και μου είπε ότι η εργασία αυτή είναι μαθηματικός λόγος και όχι πολιτικός. Χαμογέλασα κι εγώ, στη σκέψη ότι η ερμηνεία του από εμάς τους πολίτες τον καθιστά αναπόφευκτα πολιτικό. Και όντως, όταν ο ευφυέστατος αυτός ερευνητής βάλθηκε να μου εξηγήσει με απλά λόγια το πώς δουλεύει το σύστημα, μου είπε:
«Ο καπιταλισμός είναι θεμελιωδώς ένα πολλαπλασιαστικό φαινόμενο. Και όταν έχεις πολλαπλασιαστική ανάπτυξη, αυτή δεν είναι εργοδική: η συμπεριφορά της δεν είναι διαχρονικά η ίδια. Το τι επίπτωση έχει αυτό διαφάνηκε στη συγκεκριμένη εργασία, όπου μοντελοποιήθηκε ένα στοιχειώδες καπιταλιστικό σύστημα, όπως αυτό προδιαγράφεται από την οικονομική θεωρία. Και εκείνο που αποδείχθηκε είναι ότι ακόμη και τότε, στη μορφή του πιο αγνού καπιταλισμού, προκύπτει ως αναπόφευκτο συστημικό λάθος η ανισότητα!
Ο λόγος, δηλαδή, που «η οικονομία δεν διορθώνεται ό,τι κι αν κάνουμε» είναι πως η ανισότητα είναι εγγενής στο σύστημα. Οι όποιες διορθωτικές μας πολιτικές για τα τρωτά του καπιταλισμού που ως τώρα νομίζαμε ότι θρέφουν την ανισότητα (διαφθορά, φοροαποφυγή, κακοδιαχείριση και τα τοιαύτα) δεν επαρκούν για να την ξεριζώσουν. Γνωρίζαμε μέρος της αλήθειας αλλά όχι όλη την αλήθεια επειδή δεν είχαμε τον πλήρη επιστημονικό ορισμό της ανισότητας. Είχαμε μια στατική άποψη της οικονομικής εξέλιξης επειδή τα μαθηματικά της οικονομικής μας θεωρίας ήταν κολοβωμένα και δεν μπορούσαν να εκτιμήσουν τη δυναμική της. Αναπόφευκτα λοιπόν λείπουν οι ασφαλιστικές δικλίδες αποτροπής των κινδύνων που θα μας παρείχε η μετατροπή του πολλαπλασιαστικού μηχανισμού κέρδους σε εργοδικό μηχανισμό».

Τα μαθηματικά της φούσκας


Τον ρώτησα αν αυτό σημαίνει πως το ίδιο το λάθος βρίσκεται πίσω και από τις «φούσκες» και τις καταρρεύσεις των χρηματιστηρίων. Μου απάντησε:
«Βεβαίως, και μάλιστα αυτό ήταν που εντοπίσαμε στην πρώτη εργασία που δημοσιεύσαμε ο Ole Peters κι εγώ το 2011 (βλ. «Stochastic market efficiency», https://arxiv.org/pdf/1101.4548.pdf). Βρήκαμε ότι από τη στιγμή που δανείζεσαι χρήματα που δεν ανταποκρίνονται στην πραγματική οικονομική σου δυνατότητα για να τα ρισκάρεις στο χρηματιστήριο, τροφοδοτείς τη μακροπρόθεσμη δημιουργία μιας φούσκας. Σε οικονομικούς όρους αυτό σημαίνει «μόχλευση μεγαλύτερη του 1″. Οταν είδαμε θεωρητικά αυτό, σπεύσαμε να το επαληθεύσουμε και ιστορικά. Πήραμε τις χρηματιστηριακές επενδύσεις μισού αιώνα, από τον δείκτη S&P500 των αμερικανικών χρηματιστηρίων μεταξύ 1955 και 2010, και είδαμε εμβρόντητοι την πλήρη επαλήθευση της θεωρίας μας: μόλις η μόχλευση ξεπέρασε τη μονάδα, η φούσκα έσκασε! Είναι σαν ελατήριο που αντέχει την πίεση μέχρις ενός σημείου αλλά μετά τινάζεται».
«Στον κόσμο των μηχανικών» παρατήρησα, «όταν ένα σύστημα απορρυθμίζεται, χρησιμοποιούμε ό,τι ασφαλιστικές δικλίδες και βαλβίδες εκτόνωσης διαθέτουμε για να το σταθεροποιήσουμε. Πιστεύετε ότι ο έλεγχος των επιτοκίων και η κοπή πληθωριστικού χρήματος (ποσοτική χαλάρωση) είναι τα κατάλληλα και επαρκή εργαλεία των κεντρικών τραπεζών για να εκτονωθεί η τρέχουσα κρίση;».
«Θα ήταν» μου απάντησε «αν γνώριζαν αυτή την απλή μαθηματική αλήθεια: ότι η μόχλευση πρέπει να επανέλθει στη μονάδα. Οι οικονομολόγοι όμως δεν γνωρίζουν ακόμη ότι εκεί βρίσκεται το πρόβλημα και γι’ αυτό οι ρυθμίσεις τους διακινδυνεύουν όχι μόνο να μη σταθεροποιήσουν το σύστημα αλλά και να το φέρουν στο σημείο μέγιστης αποσταθεροποίησης. Το δίδαγμα που εμείς αποκομίσαμε είναι πως δεν θα πρέπει να είναι συνεχώς επικερδές το να μετατρέπεις δανεικά σε μετοχές ή το να δανείζεσαι σε μετοχές για να αποκτήσεις επενδυτικό κεφάλαιο. Οποτεδήποτε η βέλτιστη μόχλευση σε μια χρηματαγορά απομακρύνεται από τη μονάδα, έχουμε ένα ασταθές σύστημα που τείνει να αυτοδιορθωθεί. Οι όποιες κυβερνητικές παρεμβάσεις καθυστέρησης ή αποτροπής της αυτοδιόρθωσης (π.χ., μέσω κοπής πληθωριστικού χρήματος) ενδέχεται να μετατρέψουν μια ομαλή και αργή διόρθωση σε ταχύτατη, μεγάλη και βίαιη (κραχ)».
Η χίμαιρα της ανάπτυξης


«Εστω ότι αποφεύγουμε την κατάρρευση στην παρούσα φάση» είπα στον Αλέξη Αδάμου. «Μπορούμε να συνεχίσουμε στο μέλλον να έχουμε ανάπτυξη όταν οι καταναλωτές έχουν μεταβληθεί σε νεόπτωχους και δεν υπάρχει ζήτηση; Αφήνουν τα μαθηματικά τέτοιο περιθώριο διεξόδου για τον καπιταλισμό;».
«Αυτό είναι κάτι που με απασχολεί πραγματικά» μου απάντησε. «Βλέπετε, τόσο από τη θεωρία των πιθανοτήτων όσο και από την πρακτική των οικονομικών πολιτικών αντιλαμβανόμαστε ότι η διηνεκής επίτευξη ευημερίας μέσω συνεχούς ανάπτυξης που πρεσβεύει ο καπιταλισμός έχει να κάνει μόνο με τους δείκτες ανάπτυξης του μέσου όρου και όχι του κάθε πολίτη ξεχωριστά. Επίσης ο άλλος παράγοντας που με ανησυχεί είναι ότι η αυτοματοποίηση της παραγωγής, ο υπερπληθυσμός του πλανήτη και η εξάντληση των φυσικών πόρων του έχουν αρχίσει να επηρεάζουν τόσο πολύ την ανάπτυξη ώστε να γίνεται πλέον πιεστικό το να συμπεριλάβουμε στους υπολογισμούς μας το πεπερασμένο των δυνατοτήτων του πλανήτη μας. Με άλλα λόγια, νομίζω ότι επείγει να αναθεωρήσουμε ως κοινωνία των ανθρώπων το ποιος είναι πλέον πραγματικά ο στόχος της οικονομίας και να επαναπροσδιορίσουμε το τι συνιστά ωφέλεια στους οικονομικούς μας υπολογισμούς».
«Στην εργασία που δημοσιεύθηκε στο «Chaos»», του επεσήμανα, «αναφερόταν το ότι ο καπιταλισμός λογάριαζε τα κέρδη από τις επενδύσεις με το να παίρνει τον μέσο όρο από τα κέρδη που θα αποκόμιζε σε διαφορετικά σενάρια –σε «παράλληλους κόσμους» ήταν η ορολογία. Τώρα όμως, στον 21ο αιώνα, βλέπουμε ότι οι «παράλληλοι κόσμοι» έχουν περιοριστεί. Ενώ παλιά οι επενδυτές είχαν τη δυνατότητα να απλώσουν τα σενάριά τους σε διάφορες αγορές ανά τον κόσμο, η αγορά τώρα έχει γίνει μία, ενιαία και παγκόσμια. Μήπως αυτό συντελεί τελικά στην κορύφωση του κινδύνου και στην επαπειλούμενη κατάρρευση;».
Με κοίταξε συλλογισμένος. «Νομίζω ότι αυτή είναι μια εξαιρετικά ενδιαφέρουσα παρατήρηση. Δεν το είχα σκεφθεί ως τώρα. Μου λέτε στην ουσία ότι πριν είχαμε μια διαμερισματοποίηση –πολλά ανεξάρτητα συστήματα».
«Ναι. Λέω, δηλαδή, μήπως η παγκοσμιοποίηση κατέληξε τελικά να μας μπάσει σε ένα καράβι που δεν έχει πια πολλαπλά αμπάρια αλλά ένα και μοναδικό, με αποτέλεσμα να φοβόμαστε ότι το ένα και μοναδικό ρήγμα θα το βυθίσει».
«Αυτό είναι κάτι που πρέπει όντως να κοιτάξουμε. Το ενδεχόμενο της υπερσυγκέντωσης του κινδύνου είναι κάτι που δεν έχουμε μοντελοποιήσει ως τώρα. Και με κάνει να νιώθω ιδιαίτερα ανήσυχος όταν αναλογίζομαι τους τρελούς ρυθμούς με τους οποίους έχει αυξηθεί η οικονομική ανισότητα τα τελευταία χρόνια».
«Οπότε αντιλαμβάνομαι ότι δεν έχετε ακόμη απάντηση στο ερώτημα της ανάπτυξης χωρίς ζήτηση».
«Θα ήταν εύκολο να πω ότι η απάντηση θα προκύψει από τη διόρθωση της οικονομικής θεωρίας ώστε ο καπιταλισμός να καταστεί εργοδικό σύστημα. Ο καπιταλισμός όμως πάντα θα είναι μη εργοδικός διότι είναι πολλαπλασιαστικός. Αλλωστε ο πολλαπλασιασμός είναι στην καρδιά όλων των δομών που βλέπουμε στη φύση και δεν είναι αφ’ εαυτού κακό πράγμα. Εκείνο που είναι κακό είναι η χάραξη οικονομικής πολιτικής με άγνοια των επιπτώσεων του πολλαπλασιασμού στην πάροδο του χρόνου.
Ο «στραγγισμένος» μας πλανήτης και η συνεργασία


Εδώ υπεισέρχεται το θέμα της ανάπτυξης που θέσατε: αν σκεφτόμαστε την ανάπτυξη με αναφορά στο σύνολο του πληθυσμού (όπως πράττει το γνωστό Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν), τότε είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς πώς μπορεί να συνεχίσει η ανάπτυξη σε έναν πλανήτη του οποίου αγγίζουμε πλέον τα όρια εκμετάλλευσης. Αντίθετα, αν σκεφθούμε την ανάπτυξη με αναφορά στα μεμονωμένα άτομα (ένα δημοκρατικό εγχώριο προϊόν), τότε μπορούμε να πετύχουμε ανάπτυξη και καλύτερα κοινωνικά αποτελέσματα απλά με την ανακατανομή αυτών που ήδη έχουμε. Τότε θα μειωθεί η απληστία και θα πάψουμε να δανειζόμαστε δύο κόσμους προκειμένου να αποκτήσουμε τον έναν όπου ζούμε».
Αυτή η καταληκτική ρήση του συνομιλητή μου παρέπεμπε σε μία ακόμη πρόσφατη μαθηματική διαπίστωσή του: τον Ιούλιο του 2015 ο Αλέξης Αδάμου και ο Ole Peters δημοσίευσαν μια εργασία όπου αποδείκνυαν μαθηματικά ότι η βιολογική εξέλιξη ευνοείται από τη συνεργασία (βλ. https://arxiv.org/pdf/1506.03414.pdf). Σε αυτήν έθεταν το ερώτημα: Γιατί μια οντότητα που βρίσκεται ήδη σε πλεονεκτική θέση να επιζητεί τη συνεργασία με άλλους; Το ερώτημα ισχύει είτε για κύτταρα που συνεργάζονται και σχηματίζουν πολυκύτταρους οργανισμούς είτε για αγέλες ζώων που κυνηγούν από κοινού ένα θήραμα ή για σύγχρονα έθνη ανθρώπων που συγκεντρώνουν και διαμοιράζονται οικονομικούς πόρους. Η απάντηση που προέκυψε –ως μαθηματικό μοντέλο μηχανισμού –είναι ότι οι εξελικτικές διεργασίες της φύσης τείνουν να είναι πολλαπλασιαστικές. Αλλά σε μια πολλαπλασιαστική ανάπτυξη η εργοδικότητα του συστήματος διασπάται σε τρόπο ώστε οι διακυμάνσεις που προκύπτουν έχουν συν τω χρόνω αρνητικό καθαρό αποτέλεσμα. Αυτό «θεραπεύεται» με τη συνεργασία για από κοινού συγκέντρωση και διαμοίραση πόρων: οι διακυμάνσεις μειώνονται και, μολονότι ο μέσος όρος απόδοσης του συνόλου παραμένει αμετάβλητος, ο ρυθμός ανάπτυξης του κάθε μέλους της ομάδας είναι διαχρονικά υψηλότερος.
Ας διδαχθούμε –και εμείς και οι δανειστές μας.
Εργοδικά και πολλαπλασιαστικά συστήματα
Εργοδικά (από τις ελληνικές λέξεις έργον και οδός) ονομάζονται τα συστήματα που εξελίσσονται στον χώρο και στον χρόνο σύμφωνα με κάποιους νόμους πιθανοτήτων. Ειδικότερα η έννοια αυτή πρωτοχρησιμοποιήθηκε πριν από έναν αιώνα για να εξηγηθούν θεωρητικά διεργασίες διάχυσης όπως η κίνηση των μορίων σε ένα υγρό.
Στα μαθηματικά ο όρος εργοδικό χρησιμοποιείται για να περιγράψει ένα δυναμικό σύστημα το οποίο έχει την ίδια συμπεριφορά στον μέσο όρο του χρόνου και του χώρου. Στη φυσικοχημεία ο όρος χρησιμοποιείται για συστήματα που πληρούν την εργοδική υπόθεση της θερμοδυναμικής: «Ο μέσος όρος των επαναλαμβανόμενων μετρήσεων της τυχαίας κίνησης ενός μορίου είναι ίδιος με την τυχαία κίνηση ολόκληρου του συνόλου των μορίων». Η υπόθεση αυτή παρέμεινε ανεπιβεβαίωτη πειραματικά ως το 2011, οπότε αποδείχθηκε από την ομάδα του Christoph Bräuchle στο Πανεπιστήμιο Ludwig-Maximilians του Μονάχου.
Την εργοδική θεωρία θα τη βλέπουμε όλο και συχνότερα μπροστά μας καθώς επηρεάζει πλέον και τη σκέψη πολλών πρωτοπόρων της τεχνολογίας και της τέχνης: από τον Claude Shannon, που το 1948 πρωτομελέτησε τη σχέση μεταξύ εντροπίας (τυχαιότητας, αβεβαιότητας) και μετάδοσης της πληροφορίας, ως τον Espen Aarseth που το 1977 όρισε το κυβερνοκείμενο (στο βιβλίο του Cybertext: Perspectives on ergodic literature) και εκκίνησε την εργοδική λογοτεχνία, που «η ανάγνωσή της απαιτεί μια μη προβλέψιμη προσπάθεια από την πλευρά του αναγνώστη».
Γιατί ο καπιταλισμός είναι πολλαπλασιαστικός;

Μία από τις κεντρικές ιδέες του καπιταλισμού είναι η αποκαλούμενη «συσσώρευση κεφαλαίου»: κεφάλαια επενδύονται σε παραγωγικές επιχειρήσεις για να παράξουν περισσότερα κεφάλαια. Οταν συμβαίνει αυτό, η απόδοση της επένδυσης συνδέεται πάντοτε με το ποσό που επενδύθηκε και, σχεδόν πάντοτε, σε άμεση αναλογία με αυτό. Σκεφθείτε για παράδειγμα τα χρήματα που καταθέτετε στην τράπεζα: ο τόκος που σας καταβάλλεται είναι σε άμεση αναλογία με το ποσό που κατατέθηκε (π.χ. 3% ετησίως). Αυτό οδηγεί σε πολλαπλασιαστική (ή και εκθετική) ανάπτυξη των πόρων. Το ίδιο αυτό είδος πολλαπλασιαστικής ανάπτυξης το συναντάμε παντού στη φύση, αρχίζοντας π.χ. με την ανάπτυξη μιας αποικίας βακτηριδίων.

ΕΝΤΥΠΗ ΕΚΔΟΣΗ