Κατάπαυση πυρός στον πόλεμο των πιθανοτήτων

Βρισκόμαστε σε ένα μπαρ και συμφωνούμε να ρίξουμε ένα νόμισμα για τα επόμενα ποτά. Κορόνα πληρώνω εγώ, γράμματα εσείς. Τι πιθανότητες έχετε για ένα κέρασμα;

Οι περισσότεροι –οι ξεμέθυστοι, τουλάχιστον –θα συμφωνήσουν: 50%.

Ρίχνω λοιπόν το νόμισμα και το πιάνω, αλλά το κρύβω στη χούφτα μου. Τι πιθανότητες για κέρασμα έχετε τώρα;

Εδώ υπάρχουν δύο απαντήσεις: η πρώτη, ότι είναι πάλι 50%, εκτός αν έχετε λόγο να πιστεύετε κάτι διαφορετικό· η δεύτερη, ότι η απόδοση πιθανοτήτων σε ένα γεγονός το οποίο έχει ήδη συμβεί είναι ανοησία.

Το ποια απάντηση θα προτιμήσετε αποκαλύπτει ποια πλευρά υποστηρίζετε σε μια παλιά, ενίοτε ιδιαίτερα σφοδρή, διαμάχη 250 ετών σχετικά με τη φύση των πιθανοτήτων και της στατιστικής. Είναι ο καβγάς ανάμεσα στην κλασική (frequentist) και στην μπεϊζιανή (Bayesian) στατιστική και δεν πρόκειται απλώς για ένα εσωτερικό πρόβλημα. «Η διαμάχη κλασικών – μπεϊζιανών είναι η μόνη επιστημονική αντιπαράθεση που πραγματικά επηρεάζει τη ζωή όλων μας» λέει ο Λάρι Βάσερμαν από το Πανεπιστήμιο Κάρνεγκι Μέλον στο Πίτσμπουργκ των Ηνωμένων Πολιτειών. Μια φαρμακοβιομηχανία που δοκιμάζει ένα καινούργιο φάρμακο μπορεί να καταλήξει σε διαφορετικά συμπεράσματα ανάλογα με το ποια μέθοδο θα επιλέξει για να αναλύσει τα αποτελέσματά της. Οι ένορκοι ενός δικαστηρίου μπορεί να βγάλουν διαφορετική απόφαση ανάλογα με το αν τα στοιχεία της υπόθεσης τους παρουσιαστούν με τους κλασικούς ή με τους μπεϊζιανούς όρους. «Δεν είναι απλώς φιλοσοφία και δεν είναι απλώς μαθηματικά. Είναι κάτι πραγματικά συγκεκριμένο» λέει ο κ. Βάσερμαν.

Οι δύο προσεγγίσεις φαίνονταν ως τώρα εντελώς αντίθετες. Σιγά-σιγά όμως οι στατιστικοί αναλυτές έχουν αρχίσει να υιοθετούν μια νέα στάση: σε έναν κόσμο γεμάτο από μπερδεμένες και ελλιπείς πληροφορίες ίσως η καλύτερη οδός είναι οι δύο διαφορετικοί κόσμοι των πιθανοτήτων να συνδυαστούν –ή τουλάχιστον να αναμειχθούν λιγάκι.

Για να εκτιμήσουμε πλήρως το βάθος του στοιχήματός μας στο μπαρ ας ξεκινήσουμε με ένα παλιό σλόγκαν: «Στατιστική σημαίνει να μη χρειάζεται ποτέ να πεις ότι είσαι βέβαιος». Το να βγάζει συμπεράσματα χωρίς να έχει όλα τα στοιχεία είναι το ψωμί της στατιστικής. Πόσα άτομα σε μια χώρα υποστηρίζουν τη νομιμοποίηση της κάνναβης; Δεν μπορείτε να τους ρωτήσετε όλους. Τα τελευταία επί σειρά θερμότερα καλοκαίρια οφείλονται σε κάποια φυσική μεταβλητότητα ή σε μια τάση; Δεν υπάρχει τρόπος να κοιτάξετε στο μέλλον για να πείτε με βεβαιότητα.

Οι απαντήσεις σε ερωτήματα σαν αυτά συνήθως έρχονται με ένα ποσοστό πιθανότητας. Αυτό το νούμερο όμως συχνά κρύβει μια ζωτικής σημασίας διάκριση ανάμεσα σε δύο διαφορετικά είδη αβεβαιότητας: τα πράγματα που δεν γνωρίζουμε και τα πράγματα που δεν μπορούμε να γνωρίζουμε.

Οι αβεβαιότητες που δεν μπορούμε να γνωρίζουμε προέρχονται από διαδικασίες του πραγματικού κόσμου των οποίων τα αποτελέσματα φαίνονται τυχαία σε όλους όσοι τις παρακολουθούν: το ρίξιμο ενός ζαριού, το πού θα σταματήσει η μπίλια στη ρουλέτα, το πότε ακριβώς ένα άτομο σε ένα ραδιενεργό δείγμα θα διασπαστεί. Αυτός είναι ο κόσμος των κλασικών πιθανοτήτων επειδή αν ρίξετε αρκετά ζάρια ή αν παρατηρήσετε αρκετά άτομα να διασπώνται μπορείτε να αποκτήσετε μια λογική αντίληψη της σχετικής συχνότητας των διαφορετικών αποτελεσμάτων και μπορείτε να εξαγάγετε ένα μέτρο σχετικά με τις πιθανότητές τους.

Οι αβεβαιότητες που δεν γνωρίζουμε είναι πιο διφορούμενες. Εδώ ευθύνεται η ατομική άγνοια και όχι η συμπαντική τυχαιότητα. Ποιο είναι το φύλο του μωρού που περιμένουν ο πρίγκιπας Γουίλιαμ και η Κέιτ Μίντλετον; Δεν ξέρουμε ακόμη –αν και αυτό είναι ήδη δεδομένο. Ποιος θα κερδίσει το Τσάμπιονς Λιγκ; Αυτό δεν είναι δεδομένο –η διοργάνωση διεξάγεται αυτή τη στιγμή, αλλά οι ως τώρα αγώνες θα σας έχουν δώσει μια ιδέα για το ποιος έχει πιθανότητες.

Το πώς πρέπει να προσεγγίζονται αυτοί οι διαφορετικοί τύποι αβεβαιότητας διχάζει τους κλασικούς και τους μπεϊζιανούς. Ενας αυστηρός κλασικός δεν ασχολείται με την αβεβαιότητα που δεν γνωρίζουμε ή με οποιοδήποτε μέτρο πιθανοτήτων το οποίο δεν εξάγεται από επαναλαμβανόμενα πειράματα, συστήματα παραγωγής τυχαίων αριθμών, μελέτες ενός τυχαίου δείγματος πληθυσμού και τα σχετικά. Ενας μπεϊζιανός, αντιθέτως, δεν έχει κανένα πρόβλημα να χρησιμοποιήσει άλλες «εκ των προτέρων κατανομές» –γνώση που συλλέγεται από τα μοτίβα των προηγούμενων αποτελεσμάτων στην περίπτωση του Τσάμπιονς Λιγκ, για παράδειγμα –για να συμπληρώσει τα κενά. «Οι μπεϊζιανοί δεν έχουν πρόβλημα να βάλουν τις πιθανότητες σε δηλώσεις σχετικά με τον κόσμο» λέει ο Τόνι Ο’ Χέιγκαν, στατιστικός αναλυτής από το Πανεπιστήμιο του Σέφιλντ της Βρετανίας, ο οποίος ερευνά τις μπεϊζιανές μεθόδους. «Οι κλασικοί έχουν».

Το παράδειγμα στο μπαρ δείχνει πού αποκλίνουν αυτές οι δύο απόψεις. Προτού ρίξω το νόμισμα οι κλασικές και οι μπεϊζιανές πιθανότητες συμπίπτουν: 50%. Μετά η πηγή της αβεβαιότητας αλλάζει από την εγγενή τυχαιότητα στην προσωπική άγνοια. Μόνο αν τείνετε προς τις μπεϊζιανές μεθόδους, δεν θα είχατε πρόβλημα να πείτε ένα ποσοστό πιθανότητας. Αυτό θα μπορούσε να είναι 50% –ή ενδεχομένως μια προδοτική θριαμβευτική λάμψη στο πρόσωπό μου θα σας έκανε να κατεβάσετε τις πιθανότητές σας για κέρασμα στο 20%. «Στην μπεϊζιανή προσέγγιση προσπαθούμε να απαντήσουμε ερωτήσεις βάζοντας όλα τα στοιχεία που μπορεί να τις επηρεάζουν, ακόμη και αν η επιρροή ορισμένων εξ αυτών των στοιχείων εξαρτάται από υποκειμενικές κρίσεις» εξηγεί ο κ. Ο’ Χέιγκαν.

Η μπεϊζιανή ανάλυση έχει πάρει το όνομά της από τον άγγλο μαθηματικό και πρεσβυτεριανό ιερέα Τόμας Μπέιζ. Σε μια διατριβή που δημοσιεύθηκε το 1763, δύο χρόνια μετά τον θάνατό του, εξέθεσε μια νέα προσέγγιση σε ένα θεμελιώδες αίνιγμα: πώς να προχωρήσεις αντίστροφα από τις παρατηρήσεις στα κρυφά αίτια όταν οι πληροφορίες που έχεις είναι ελλιπείς. Φανταστείτε ότι έχετε ένα κουτί με δώδεκα ντόνατς, τα μισά γεμισμένα με κρέμα και τα άλλα μισά με μαρμελάδα. Είναι σχετικά απλό να υπολογίσετε τι πιθανότητες έχετε να βγάλετε πέντε ντόνατς με μαρμελάδα στη σειρά. Τα αντίστροφο πρόβλημα, όμως, το να υπολογίσετε το πιθανό περιεχόμενο ενός άγνωστου κουτιού όταν έχετε απλώς βγάλει από αυτό πέντε ντόνατς με μαρμελάδα, είναι δυσκολότερο. Η καινοτομία του Μπέιζ ήταν ότι προσέφερε τον σπόρο για ένα μαθηματικό πλαίσιο το οποίο σας επιτρέπει να ξεκινήσετε με μια υπόθεση (ίσως έχετε αγοράσει κουτιά με ντόνατς από το ίδιο κατάστημα στο παρελθόν) και να την τελειοποιήσετε καθώς νέα δεδομένα έρχονται στο φως.

Στα τέλη του 18ου και του 19ου αιώνα η μπεϊζιανή μέθοδος βοήθησε στην επίλυση μιας σειράς δυσεπίλυτων προβλημάτων, από την εκτίμηση της μάζας του Δία ως τον υπολογισμό του αριθμού των αγοριών που γεννιούνται σε όλον τον πλανήτη ανά κάθε κορίτσι. Σταδιακά όμως έχασε την εύνοια έναντι της κλασικής στατιστικής, θύμα μιας ανατέλλουσας εποχής μεγάλων δεδομένων. Ολα, από τις βελτιωμένες αστρονομικές παρατηρήσεις ως τους άρτι δημοσιευθέντες στατιστικούς πίνακες θνησιμότητας, ασθενειών και εγκληματικότητας, απέπνεαν έναν καθησυχαστικό αέρα αντικειμενικότητας. Η μέθοδος των λελογισμένων υποθέσεων του Μπέιζ φαινόταν απελπιστικά παλιομοδίτικη και μάλλον αντιεπιστημονική.

Η έλευση στις αρχές του 20ού αιώνα της κβαντικής θεωρίας, η οποία εξέφραζε ακόμη και την πραγματικότητα με τη γλώσσα των κλασικών πιθανοτήτων, συνέβαλε περαιτέρω σε αυτό. Τα δύο σκέλη της στατιστικής σιγά-σιγά απομακρύνθηκαν ακόμη περισσότερο. Οι οπαδοί κατέληξαν να υποβάλλουν τις εργασίες τους σε ξεχωριστές επιθεωρήσεις, να παρακολουθούν ξεχωριστά συνέδρια, ακόμη και να ιδρύουν ξεχωριστά πανεπιστημιακά τμήματα.

Κορόνα ή γράμματα; Οι πιθανότητες είναι 50-50 για όλους, μόνον όμως όσο το νόμισμα μένει στον αέρα

Στην πραγματικότητα, ωστόσο, και οι δύο μέθοδοι έχουν τα δυνατά και αδύνατα σημεία τους. Εκεί όπου τα δεδομένα σπανίζουν και υπάρχουν ελάχιστες δυνατότητες επανάληψης ενός πειράματος, οι μπεϊζιανές μέθοδοι μπορούν με εξαιρετικό τρόπο να αντλήσουν πληροφορίες. Πάρτε για παράδειγμα την αστροφυσική. Μια έκρηξη σουπερνόβα σε έναν κοντινό γαλαξία, το Μεγάλο Μαγγελανικό Νέφος, η οποία παρατηρήθηκε το 1987, προσέφερε την ευκαιρία να εξεταστούν πειραματικά οι θεωρίες σχετικά με τη ροή των νετρίνων από ένα τέτοιο γεγονός. Οι ανιχνευτές όμως συνέλαβαν μόνο 24 από αυτά τα φευγαλέα σωμάτια. Χωρίς δεδομένα οι κλασικές μέθοδοι κατέρρευσαν, η ευέλικτη μπεϊζιανή μέθοδος όμως προσέφερε ένα ιδανικό εργαλείο ώστε να αξιολογηθούν τα προτερήματα των διαφόρων ανταγωνιστικών θεωριών.

Βοήθησε βεβαίως το γεγονός ότι οι καλά θεμελιωμένες θεωρίες παρείχαν καλές εκ των προτέρων κατανομές ώστε να ξεκινήσει αυτού του είδους η ανάλυση. Οταν αυτές δεν υπάρχουν, η μπεϊζιανή ανάλυση μπορεί εύκολα να αποτύχει. Αυτός είναι ένας λόγος για τον οποίο τα δικαστήρια διστάζουν ως τώρα να υιοθετήσουν τις μπεϊζιανές μεθόδους, παρά το γεγονός ότι εκ πρώτης όψεως αυτές αποτελούν έναν εξαιρετικό τρόπο για τη σύνθεση μπερδεμένων στοιχείων από μπερδεμένες πηγές. Σε μια υπόθεση αναγνώρισης πατρότητας στο Νιου Τζέρσεϊ το 1993 στην οποία χρησιμοποιήθηκε η μπεϊζιανή στατιστική το δικαστήριο αποφάσισε ότι οι ένορκοι θα έπρεπε να χρησιμοποιήσουν ο καθένας τις δικές του εκ των προτέρων κατανομές σχετικά με την πιθανότητα ο κατηγορούμενος να είναι ο πατέρας του παιδιού, παρά το γεγονός ότι αυτό θα έδινε στον κάθε ένορκο μια διαφορετική τελική στατιστική εκτίμηση της ενοχής. «Δεν υπάρχει σωστή και λάθος μπεϊζιανή απάντηση» λέει ο κ. Βάσερμαν. «Είναι πολύ μεταμοντέρνο».

Η εξεύρεση καλών εκ των προτέρων κατανομών μπορεί επίσης σε κάποιες περιπτώσεις να απαιτεί ένα δυσθεώρητο βάθος γνώσεων. Οι ερευνητές που διερευνούν την αιτία της νόσου του Αλτσχάιμερ, π.χ., μπορεί να εξετάζουν 5.000 γονίδια. Η χρήση μπεϊζιανών μεθόδων θα προϋπέθετε τη χρήση 5.000 εκ των προτέρων κατανομών προκειμένου να εξαχθεί η πιθανή κατανομή του κάθε γονιδίου, συν 25 εκατομμύρια επιπλέον αν ήθελαν να ελέγξουν ζεύγη γονιδίων που συνεργάζονται. «Κανείς δεν θα μπορούσε να συντάξει μια λογική εκ των προτέρων κατανομή για ένα τόσο πολυδιάστατο πρόβλημα» λέει ο κ. Βάσερμαν. «Και ακόμη και αν το έκανε, κανένας άλλος δεν θα το πίστευε».

Για να είμαστε δίκαιοι, χωρίς περαιτέρω στοιχεία, οι κλασικές στατιστικές μέθοδοι του κοσκινίσματος πολλών μικρών γενετικών επιδράσεων δυσκολεύονται ιδιαίτερα να εμφανίσουν τα πραγματικά σημαντικά γονίδια. Αυτό όμως είναι ένα πρόβλημα που μπορεί κάποιος ενδεχομένως να αντιμετωπίσει ευκολότερα από ό,τι το να συντάξει 25 εκατομμύρια λογικά συνεπείς μπεϊζιανές υποθέσεις.

Η κλασική στατιστική σε γενικές γραμμές λειτουργεί καλά εκεί όπου πάρα πολλά δεδομένα πρέπει να μιλήσουν με τον πιο αντικειμενικό τρόπο. Ενα διάσημο παράδειγμα είναι η αναζήτηση για το μποζόνιο Χιγκς, η οποία ολοκληρώθηκε το 2012 στο Εργαστήριο Σωματιδιακής Φυσικής του Ευρωπαϊκού Κέντρου Πυρηνικών Ερευνών (CERN) στη Γενεύη. Οι ομάδες που έκαναν την ανάλυση κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι, αν πράγματι δεν υπήρχε μποζόνιο Χιγκς, τότε ένα μοτίβο δεδομένων τόσο αναπάντεχο όσο ή ακόμη περισσότερο αναπάντεχο από αυτό που παρατηρήθηκε θα μπορούσε να αναμένεται μόνο σε μία στις 3,5 εκατομμύρια υποθετικές επαναλήψεις των δοκιμών. Αυτό είναι τόσο απίθανο ώστε η ομάδα θεώρησε ότι μπορεί να απορρίψει την ιδέα ενός Σύμπαντος χωρίς το μποζόνιο Χιγκς.

Η διατύπωση αυτή φαίνεται περίπλοκη και αντανακλά την κύρια αδυναμία της κλασικής στατιστικής: τον τρόπο με τον οποίο μπερδεύει τα λόγια της εξαιτίας της περιφρόνησής της για όλες τις αβεβαιότητες που δεν ξέρουμε. Το μποζόνιο Χιγκς, είτε υπάρχει είτε όχι.Οποιαδήποτε αδυναμία να πει κάποιος το ένα ή το άλλο οφείλονται σε έλλειψη πληροφοριών. Ενας αυστηρός κλασικός δεν μπορεί στην πραγματικότητα να κάνει μια άμεση δήλωση σχετικά με την πιθανότητα της ύπαρξής του ή όχι –κάτι το οποίο πράγματι οι ερευνητές του CERN φρόντισαν να αποφύγουν (αν και μερίδα του Τύπου και διάφοροι άλλοι κινήθηκαν πιο ελεύθερα).

Οι απευθείας συγκρίσεις μπορούν να δείξουν τη σύγχυση που μπορεί να προκύψει, όπως συνέβη με μια αμφιλεγόμενη κλινική δοκιμή δύο φαρμάκων για την αντιμετώπιση των καρδιακών επεισοδίων, της στρεπτοκινάσης και του ιστικού ενεργοποιητή πλασμινογόνου, στη δεκαετία του 1990. Αρχικά η κλασική ανάλυση έδωσε «αξία p» 0,001% σε μια μελέτη η οποία φαινόταν να δείχνει ότι περισσότεροι ασθενείς επιβίωσαν παίρνοντας τη νεότερη, ακριβότερη θεραπεία του ενεργοποιητή πλασμινογόνου. Αυτό ισοδυναμεί με το να λέει κάποιος ότι, αν τα δύο φάρμακα είχαν το ίδιο ποσοστό θνησιμότητας, τότε δεδομένα τουλάχιστον τόσο ακραία όσο τα ποσοστά που παρατηρήθηκαν θα μπορούσαν να προκύψουν μόνο μία φορά σε 1.000 επαναλαμβανόμενες δοκιμές.

Αυτό δεν σημαίνει ότι οι ερευνητές ήταν 99,9% βέβαιοι πως το νέο φάρμακο ήταν ανώτερο –αν και, ξανά, συχνά αυτό ερμηνεύεται έτσι. Οταν άλλοι ερευνητές έκαναν μπεϊζιανή ανάλυση χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα της προηγούμενης κλινικής δοκιμής ως εκ των προτέρων κατανομή βρήκαν ότι η άμεση πιθανότητα το νέο φάρμακο να είναι ανώτερο ήταν μόλις 17%. «Στον μπεϊζιανισμό αντιμετωπίζουμε άμεσα το ερώτημα που μας ενδιαφέρει λέγοντας πόσο πιθανό είναι να ισχύει» λέει ο Ντέιβιντ Σπλιγκελχάλτερ από το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ. «Ποιος δεν θα ήθελε να λέει κάτι τέτοιο;».

Το μωρό που περιμένετε θα είναι αγόρι ή κορίτσι; Η μια «γλώσσα» της στατιστικής αρνείται να απαντήσει επ’ αυτού, η άλλη όμως δεν έχει κανένα πρόβλημα να προσπαθήσει

Τελικά ίσως είναι μια περίπτωση τού «ο καθείς στο είδος του», μήπως όμως τα δυνατά και τα αδύνατα σημεία των δύο προσεγγίσεων υποδηλώνουν ότι ίσως θα ήταν καλύτερο να συνδυάσουμε στοιχεία και από τις δύο; Ο Ρόμπερτ Κας, από το Πανεπιστήμιο Κάρνεγκι Μέλον, ανήκει σε μια νέα «φυλή» στατιστικών αναλυτών που κάνουν ακριβώς αυτό. «Για μένα η στατιστική είναι σαν μια γλώσσα» λέει. «Μπορεί να μιλάτε καλά γαλλικά και αγγλικά και να αλλάζετε από τη μια γλώσσα στην άλλη με άνεση».

Ο Στίβεν Σεν, στατιστικός αναλυτής φαρμάκων στο Ινστιτούτο Υγείας του Λουξεμβούργου, συμφωνεί. «Χρησιμοποιώ αυτό το οποίο ονομάζω «μπασταρδεμένη στατιστική», λίγο από όλα» λέει. «Συχνά δουλεύω με τον τρόπο των κλασικών, αλλά διατηρώ το δικαίωμα να κάνω μπεϊζιανή ανάλυση και να σκέφτομαι με μπεϊζιανό τρόπο».

Ο κ. Κας φέρνει ως παράδειγμα μια ανάλυση που έκαναν ο ίδιος και οι συνάδελφοί του σχετικά με τη συχνότητα ενεργοποίησης των εκατοντάδων νευρώνων της οπτικής – κινητικής περιοχής του εγκεφάλου των πιθήκων. Προηγούμενες δουλειές στη βασική νευροβιολογία τούς παρείχαν τις πληροφορίες σχετικά με το πόσο γρήγορα θα έπρεπε να ενεργοποιούνται αυτοί οι νευρώνες και το πόσο γρήγορα ο ρυθμός ενεργοποίησής τους θα μπορούσε να αλλάζει με τον χρόνο. Ενσωμάτωσαν αυτές τις πληροφορίες σε μια μπεϊζιανή προσέγγιση και στη συνέχεια άλλαξαν στολή για να αξιολογήσουν τα αποτελέσματά τους σε ένα κλασικό στατιστικό πλαίσιο. Η μπεϊζιανή εκ των προτέρων κατανομή τους προσέφερε μια επαρκή βάση ώστε στη συνέχεια να μπορέσουν οι κλασικές μέθοδοι να ανιχνεύσουν ακόμη και πολύ μικρές διαφορές σε μια θάλασσα από θορυβώδη δεδομένα. Οι δύο προσεγγίσεις μαζί έδωσαν καλύτερα αποτελέσματα από την κάθε μέθοδο ξεχωριστά.

Μερικές φορές οι μπεϊζιανές και οι κλασικές ιδέες μπορούν να αναμειχθούν τόσο ώστε να δημιουργήσουν κάτι καινούργιο. Σε μεγάλες μελέτες της γενωμικής μια μπεϊζιανή ανάλυση θα μπορούσε να εκμεταλλευθεί το γεγονός ότι μια μελέτη που εξετάζει τις επιδράσεις 2.000 γονιδίων είναι σχεδόν σαν 2.000 παράλληλα πειράματα και να συνδυάσει τις αναλύσεις χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα ορισμένων για να συστήσει εκ των προτέρων κατανομές για κάποιες άλλες ώστε στη συνέχεια να χρησιμοποιήσει αυτή τη βάση για να καταλήξει σε συμπεράσματα μέσω της κλασικής ανάλυσης. «Η προσέγγιση αυτή δίνει αρκετά καλύτερα αποτελέσματα» λέει ο Τζεφ Λικ από το Πανεπιστήμιο Τζονς Χόπκινς στη Βαλτιμόρη. «Εχει πραγματικά αλλάξει τον τρόπο με τον οποίο αναλύουμε τα γενετικά δεδομένα».

Εχει επίσης καταργήσει τις διαχωριστικές γραμμές. «Είναι αυτή η προσέγγιση κλασική; Μπεϊζιανή;» αναρωτήθηκε ο στατιστικός αναλυτής του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ Ραφαέλ Ινσάρι σε ένα μπλογκ. «Για εμένα, ως αναλυτή που ασχολείται με την εφαρμοσμένη στατιστική, πραγματικά δεν έχει σημασία».

Αυτό δεν σημαίνει ότι οι διαμάχες έχουν εκλείψει εντελώς. «Η στατιστική είναι ουσιαστικά η αφηρημένη γλώσσα που η επιστήμη χρησιμοποιεί επάνω σε δεδομένα για να πει ιστορίες σχετικά με το πώς λειτουργεί η φύση και δεν υπάρχει ένας και μοναδικός τρόπος για να λες ιστορίες» σχολιάζει ο κ. Κας. «Σε διακόσια χρόνια ίσως να υπάρξει κάποια σημαντική ανακάλυψη που θα συνδέσει τον μπεϊζιανισμό και τον κλασικισμό σε μια μεγάλη σύνθεση αλλά η υποψία μου είναι ότι πάντα θα υπάρχει τουλάχιστον μια μέθοδος εναντίον μιας άλλης».

Το πιθανότερο είναι λοιπόν ότι το 2215 δύο άνθρωποι σε ένα μπαρ θα εξακολουθούν να διαφωνούν σχετικά με τις πιθανότητές τους για μια κερασμένη μπίρα.