Η υπόθεση του συνεχούς είναι ένα ερώτημα των Μαθηματικών, ίσως το μεγαλύτερο αυτή την περίοδο για τα Μαθηματικά, και είναι τέτοιο γιατί συγκλίνουσες απόψεις μεγάλων λογικών και μαθηματικών από τον περασμένο αιώνα ως σήμερα το τοποθετούν στη διεπαφή των θεμελίων των Μαθηματικών, της Μαθηματικής Λογικής και της Φιλοσοφίας φθάνοντας (για κάποιους) ως την φυσιολογία του εγκεφάλου και την κβαντική μικρο-δομή του. Από αυτή την άποψη παρά την ενυπάρχουσα δυσκολία εκλαΐκευσης, σε αυτό το επίπεδο, των μαθηματικών ιδεών, έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον ακόμη και για έναν μη μαθηματικό η ιστορική αναγωγή της υπόθεσης του συνεχούς και η σύνδεσή της με τη διαχρονική «ωσμωτική» σχέση των Μαθηματικών με την Αναλυτική Λογική μέσω της οποίας τα Μαθηματικά διαμεσολαβούνται σε τυπικό επίπεδο. Πολύ περισσότερο που ο γρίφος αυτός των θεμελίων των Μαθηματικών είναι απότοκο και συνδέεται στενά με τη λεγόμενη κρίση των θεμελίων στις αρχές του 20ού αιώνα, η οποία ήταν ακριβώς η θεωρητική αμφιβολία για την καλή θεμελίωση των μαθηματικών θεωριών, νοουμένων ως τυπικών-συντακτικών υπερδομών, των οποίων το εννοιολογικό περιεχόμενο πρέπει ωστόσο να αναζητηθεί στην εμπειρική παρατήρηση εντός του κόσμου που μας περιβάλλει.
Υπόθεση του συνεχούς και αξίωμα της επιλογής
Υπό το πρίσμα αυτό, η εξέλιξη των μαθηματικών θεμελίων μετά τη δημοσίευση της Principia Mathematica των Μπέρτραντ Ράσελ και Αλφρεντ Νορθ Γουάιτχεντ, το 1910, συμβαδίζει και με την εξέλιξη της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών, η οποία με τη σειρά της αναπτύσσεται σε σχέση ανάδρασης με τα νεότερα φιλοσοφικά ρεύματα της Αναλυτικής Φιλοσοφίας που ευδοκιμεί κυρίως στον αγγλοσαξονικό κόσμο και της (λεγόμενης) Ηπειρωτικής Φιλοσοφίας με τα παρακλάδια της και απώτερο πεδίο αναφοράς την κεντροευρωπαϊκή ιδεαλιστική φιλοσοφία του 18ου-19ου αιώνα.
Κατά το μέτρο λοιπόν που μια μαθηματική θεωρία νοείται ως μια αφηρημένη λογική υπερδομή η οποία ανάγεται στον συνεπή χειρισμό μαθηματικών αντικειμένων ως τυπικών συμβόλων της θεωρίας μέσα σε ένα πεπερασμένο πλαίσιο διαδικασιών με την προσθήκη ενός αξιώματος ύπαρξης του απείρου, η υπόθεση του συνεχούς έχει αποδειχθεί ότι είναι μαζί με το αξίωμα της επιλογής ανεξάρτητες μαθηματικές προτάσεις, δηλαδή μπορεί να αποδειχθεί η λογική συνέπεια τόσο της κατάφασής τους όσο και της άρνησής τους μέσα στο αξιωματικό σύστημα των Τσερμέλο – Φρένκελ. Το σύστημα αυτό, γνωστό και ως θεωρία συνόλων Τσερμέλο – Φρένκελ, είναι, τουλάχιστον ως σήμερα, η κοινώς αποδεκτή από τη μαθηματική κοινότητα θεμελιακή αξιωματική θεωρία περιγραφής και κατασκευής των μαθηματικών συνόλων.
Σε πολύ αδρές γραμμές, η υπόθεση του συνεχούς, διατυπωμένη εδώ και περίπου 110 χρόνια από τον ιδρυτή της θεωρίας συνόλων γερμανό μαθηματικό Γεργκ Κάντορ, προβλέπει ότι δεν υπάρχει ενδιάμεσο επίπεδο απειρίας ανάμεσα στην αριθμήσιμη απειρία των φυσικών αριθμών (κατά την απαρίθμησή τους) και στη «δευτεροβάθμια» απειρία των πραγματικών αριθμών, αυτή δηλαδή που απεικονίζεται, π.χ., ως μια ευθεία ή ως οποιαδήποτε συνεχής γραμμή του επιπέδου. Το αξίωμα της επιλογής από την άλλη μεριά, αυτονόητο σε μια «αφελή» ανάγνωση, αξιωματικοποιεί τη δυνατότητα μιας μονοσήμαντης κάθε φορά επιλογής ενός στοιχείου μέσα από μια άπειρη συλλογή μη κενών συνόλων, πράγμα καθόλου δεδομένο αν σχεδιάσουμε, για παράδειγμα (όπως είχε πει ο Μπ. Ράσελ), τον προγραμματισμό μιας μηχανής ώστε να επιλέγει πάντα το δεξί παπούτσι μέσα σε έναν ατελείωτο σωρό από ίδια ακριβώς ζευγάρια παπούτσια! Ουσιαστικά το αξίωμα αυτό «εγκαθιδρύει» μια καλώς εννοούμενη μαθηματική τάξη μέσα στην ενεστωτική απειρία.
Το σύμπαν του έσχατου L
Ταυτόχρονα μια σειρά άλλων μαθηματικών εικασιών που, με τον έναν ή τον άλλον τρόπο, αφορούν το μη αριθμήσιμο άπειρο αποδεικνύονται και αυτές ανεξάρτητες των υπολοίπων αξιωμάτων του συστήματος Τσερμέλο – Φρένκελ, ενώ επάγονται ή κάνουν χρήση άμεσα ή έμμεσα της υπόθεσης του συνεχούς και του αξιώματος της επιλογής. Είναι χαρακτηριστικό ότι εντελώς πρόσφατα ο μαθηματικός Χιου Γούντιν του Πανεπιστημίου Μπέρκλεϊ των ΗΠΑ, ο οποίος ισχυρίζεται ότι η υπόθεση του συνεχούς μπορεί να αποφασισθεί μέσω της κατασκευής ενός έσχατου L-σύμπαντος, αποδέχεται in rem εικασίες ενεστωτικού απείρου, δηλαδή το αξίωμα επιλογής, είτε προσφεύγει στην εφαρμογή αξιωμάτων μεγάλων πληθικών αριθμών, τα οποία όμως υπερβαίνουν τις αποδεικτικές δυνατότητες της «καθεστηκυίας» θεωρίας συνόλων Τσερμέλο – Φρένκελ (βλ. «ΒΗΜΑScience», 13.11.2011 & εκδόσεις Infinity – New Research Frontiers, Cambridge University Press, 2011).
Με πιο απλά λόγια, στον βαθμό που εννοούμε ως ενεστωτικό άπειρο (actual infinite) την αποδοχή ενός νοητικού απείρου «ενώπιόν μας» την παρούσα στιγμή που το εννοούμε και εντός του οποίου μπορούμε να προβάλλουμε διακριτές μαθηματικές πράξεις δυνητικά επ’ άπειρον χρόνο, ο μαθηματικός χειρισμός της υπόθεσης του συνεχούς εμπεριέχει ήδη μέσω της επίκλησης μιας εικασίας ενεστωτικού απείρου την πρόσληψη ενός επιπέδου μη αριθμήσιμου απείρου, περί του οποίου ωστόσο πρέπει να αποφανθεί η υπόθεση του συνεχούς. Προφανής κυκλικότητα των εννοιών!
Σε κάθε περίπτωση, στον βαθμό που τα Μαθηματικά έχουν ένα εννοιολογικό περιεχόμενο που ανάγεται στις εμπειρικές παρατηρήσεις εντός του φυσικού κόσμου και στον επαγόμενο ψυχολογιστικό αναγωγισμό των παρατηρήσεων αυτών, π.χ. στην ικανότητα ομαδοποίησης ή συσχέτισης ομοειδών παρατηρήσεων, στην ικανότητα αφαίρεσης του αμετάβλητου μέσα από τη μεταβλητότητα κ.λπ., η αντιμετώπιση του μαθηματικού απείρου φαίνεται να υπερβαίνει τη στενή τοποθέτησή του μέσα στα πλαίσια μιας τυπικής μαθηματικής θεωρίας. Πολύ περισσότερο που εναλλακτικές μαθηματικές θεωρίες, όπως αυτή της λεγόμενης διαισθητικής σχολής του Αμστερνταμ στο πρώτο μισό του 20ού αιώνα (με κύριο εκπρόσωπο τον Γιαν Μπράουερ), καθώς και νεότερες, όπως η εναλλακτική θεωρία συνόλων της Σχολής της Πράγας, ανάγουν την πρόσληψη των μαθηματικών αντικειμένων σε μια ειδικού τύπου σχέση που έχουμε εμείς οι άνθρωποι, ως ενσυνείδητες ένυλες οντότητες, με τα πράγματα εντός του κόσμου που μας περιβάλλει και με τον οποίο έχουμε μια αλληλεπιδραστική, τοπικού αλλά διαρκώς επεκτάσιμου χαρακτήρα σχέση. Από εδώ προκύπτει μια νέα φαινομενολογικού τύπου θεώρηση των Μαθηματικών που ανάγεται σε έναν βαθμό στη φαινομενολογική φιλοσοφία του γερμανού φιλοσόφου Εντμουντ Χούσερλ.
Δύο τύποι μαθηματικού απείρου
Προκύπτει λοιπόν ένα νέο πεδίο εποπτείας των μαθηματικών ιδεών, γόνιμο και εξελισσόμενο, του οποίου τη σημασία είχε αναγνωρίσει πρωτίστως ο ίδιος ο μεγάλος μάγιστρος των Μαθηματικών του 20ού αιώνα Κουρτ Γκέντελ, και για το οποίο τα μαθηματικά αντικείμενα συνδιαμορφώνονται, ως αποβλεπτικά και συνάμα χρονικά αντικείμενα, εντός της συνείδησης του παρατηρητή. Επομένως το ερώτημα του μαθηματικού συνεχούς τίθεται σε επάλληλη βάση με το ερώτημα της αρχής του φαινομενολογικού συνεχούς, αναγόμενου τελικά στην «απαρχή» της ροής της συνείδησης του καθενός από εμάς. Υπό την προσέγγιση αυτή, δεν μπορούν παρά να νοούνται θεμελιωδώς δύο τύποι μαθηματικού απείρου, το αριθμήσιμα άπειρο των φυσικών και ακεραίων αριθμών, το οποίο είναι άμεσα αναγνωρίσιμο από τη φυσική μας διαίσθηση κατά το πεπερασμένο αλλά «μετατοπίσιμο» μέρος του , και το μη αριθμήσιμα άπειρο των πραγματικών αριθμών, το οποίο συνδέεται σε ένα βαθύτερο επίπεδο φαινομενολογικής ανάλυσης με μια συνεχή αντικειμενική ενότητα συγκροτούμενη σε ένα πρωτογενές επίπεδο εντός της χρονικής συνείδησης του παρατηρητή.
Εικάζεται όθεν ότι οποιαδήποτε απόφανση της υπόθεσης του συνεχούς μέσω αναγωγής της σε «ανώτερης» τάξης μαθηματικές υπερδομές δεν μπορεί παρά να παράγει εννοιολογικές κυκλικότητες κατά την τυπική κατασκευή των υπερδομών αυτών ή κατά την απόδειξη της συνέπειάς τους, και τούτο γιατί η έννοια του συνεχούς πιθανότατα υπεκφεύγει της αποκλειστικής περιγραφής της μέσω μιας τυπικής θεωρίας όπως είναι τα Μαθηματικά.
Στην άποψη αυτή ήταν πολύ κοντά ο ίδιος ο Γκέντελ το 1947, με το περίφημο άρθρο του «Ποιο είναι το πρόβλημα του συνεχούς του Κάντορ;» (What is Cantor’s Continuum Problem?), όταν διετύπωσε την άποψη ότι η υπόθεση του συνεχούς, εφόσον η υποκείμενη θεωρία (Θεωρία Τσερμέλο – Φρένκελ) είναι συνεπής, πρέπει να είναι είτε θετικά αποφασίσιμη (το είχε αποδείξει ο ίδιος το 1938) είτε αρνητικά αποφασίσιμη (δηλαδή η άρνησή της να είναι συνεπής με τα υπόλοιπα αξιώματα της Θεωρίας Τσερμέλο – Φρένκελ). Αν συμβαίνουν και τα δύο, αυτό θα σήμαινε ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν θα έπρεπε να είναι αυστηρά αναλυτικού-μαθηματικού χαρακτήρα.
Οπως αποδείχθηκε δεκαέξι χρόνια αργότερα (1963) από τον Πολ Κοέν, η υπόθεση του συνεχούς είναι και αρνητικά αποφασίσιμη, εντείνοντας την υποψία ότι το μαθηματικό συνεχές σε θεμελιώδες επίπεδο δεν είναι απλά μια αναλυτικού χαρακτήρα έννοια, άσχετα αν η τέτοια αντιμετώπισή του μας έδωσε ένα σωρό θαυμάσια πράγματα για τη θετική επιστήμη μέσω του απειροστικού και του ολοκληρωτικού λογισμού των Ι. Νιούτον και Γκ. Λάιμπνιτς τους προηγούμενους αιώνες. Ο Πολ Κοέν εξάλλου στον επίλογο της μονογραφίας του Η Θεωρία Συνόλων και η Υπόθεση του Συνεχούς (1966) είχε διατυπώσει την άποψη ότι η μη αποφασισιμότητα της υπόθεσης του συνεχούς δεν μπορεί να αρθεί αν αποφύγουμε την αναγωγή σε ένα αριθμητικό σύστημα υψηλότερης τάξης από τους φυσικούς αριθμούς, όπως είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Ανάλογο πρόβλημα μη αποφασισιμότητας του συνεχούς μπορεί να διατυπωθεί κάνοντας χρήση μόνο της έννοιας των πραγματικών αριθμών.
Ακόμη και η απόδειξη του, καταλυτικού για τη Μαθηματική Λογική και Φιλοσοφία, θεωρήματος της μη πληρότητας του Γκέντελ μπορεί να συνδεθεί, έστω εμμέσως, με τη δυσεξιχνίαστη έννοια του ενεστωτικού απείρου σε αντιπαραβολή με τις διακριτές και περατού χαρακτήρα μαθηματικές πράξεις που αφορούν τις αποκαλούμενες αναδρομικά αριθμήσιμες διαδικασίες.
Ενας ερεβώδης λαβύρινθος είναι αυτή τη στιγμή η «καταβύθιση» στα θεμέλια των Μαθηματικών, κινητοποιεί ωστόσο την αέναη ανθρώπινη απορία για την υποκείμενη αλήθεια, αλλά υπογραμμίζει και τις δυνατότητες μιας ολιστικού τύπου έρευνας των θεμελιακών ερωτημάτων των μαθηματικών θεωριών αυτών καθ’ εαυτών.
Ο κ. Στάθης Λειβαδάς είναι δρ Φιλοσοφίας Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών.
