Βιβλία

ΚΛΙΦΟΡΝΤ ΠΙΚΟΒΕΡ

Τα μαθηματικά του Οζ

Εκδόσεις Κέρδος, 2011,

σελ. 440, τιμή 22 ευρώ

Νόμιζα ότι δεν ζηλεύω, αλλά λάθεψα: ζηλεύω αφόρητα έναν τύπο που, ανάμεσα στις πάμπολλες εφευρέσεις του και το γράψιμο για πολλά περιοδικά, προλαβαίνει να εκδίδει σχεδόν ένα βιβλίο κάθε χρόνο! Κι όλα αυτά με ένα ονοματεπώνυμο που στα ελληνικά σημαίνει… Γκρεμοπέρασμα Ξεδιαλέγω! Ναι, ο Αμερικανός Dr. Clifford A. Pickover είναι αυτός που μου εγείρει τον «φθόνο», ιδιαίτερα αφότου διάβασα χριστουγεννιάτικα το βιβλίο του «Τα μαθηματικά του Οζ» που μόλις εξέδωσε στη χώρα μας ο Κέδρος.

Δεν είναι η πλοκή που θα ζήλευε ένας συγγραφέας σε αυτό το βιβλίο – πώς θα μπορούσε με 108 κεφάλαια; Είναι άλλωστε όχι ακριβώς βιβλίο αλλά ανθολογία προβλημάτων: Κάθε κεφάλαιο είναι και ένα πρόβλημα που σε προκαλεί να το λύσεις, βάζοντας σε δοκιμασία τις γνώσεις και το IQ σου. Το μόνο συγγραφικό εύρημα που χρειάστηκε ο Πικόβερ ήταν η ελκυστική εισαγωγή. Κι αυτήν τη βρήκε «προεκτείνοντας» τη δράση των πρωταγωνιστών του «Θαυμαστού Κόσμου του Οζ», που έγραψε ο L. Frank Βaum το 1900. Για την εξοικείωση με αυτό το κλασικό παραμύθι των ΗΠΑ φροντίζουν τα προλογικά μεταφραστή και συγγραφέα, στις πρώτες 28 σελίδες. Από εκεί και μετά αρχίζει η παράθεση των σπαζοκεφαλιών, με μόνο δύο οδηγούς πλοήγησης: Το επίπεδο δυσκολίας – που διαφαίνεται από τη σήμανση με ένα ως τέσσερα αστεράκια – και την επιστημονική κατηγορία των προβλημάτων. Για αυτό το δεύτερο είναι απαραίτητη η ανάγνωση του «ταξιδιωτικού οδηγού» των σελίδων 21-22, όπου μας γνωστοποιείται το ποια προβλήματα είναι γεωμετρίας, ποια ακολουθιών, ποια πιθανοτήτων, ποια αριθμητικής, ποια του φυσικού κόσμου και ποια λαβύρινθοι. Το βιβλίο τελειώνει με ένα τρισέλιδο ευρετήριο όρων. Οπως θα έχετε ήδη αντιληφθεί, δεν είναι ένα βιβλίο για «διάβασμα του Σαββατοκύριακου». Είναι περισσότερο ένα «επιτραπέζιο παιχνίδι», κατάλληλο για να συναρπάσει ανταγωνιστικές παρέες παιδιών… κάθε ηλικίας. Ο τρόπος γραφής του Πικόβερ είναι διασκεδαστικός, απλός και κάνει τα προβλήματά του σαφή και εύληπτα. Οπου χρειάζεται, ο πολύ καλός μεταφραστής και επιστημονικός επιμελητής Π. Παπαχρήστου έχει συμβάλει με επεξηγηματικές υποσημειώσεις. Αναμφίβολα, είναι ένα βιβλιοδώρο που θα συνιστούσα για κάθε παιδί που «του κόβει», αλλά και για κάθε εκπαιδευτικό, είτε της τάξης είτε μιας κατασκήνωσης. Αυτά που θα αποκομίσουν μικροί και μεγάλοι από την προσπάθεια επίλυσης των 108 σπαζοκεφαλιών είναι οπωσδήποτε ψυχαγωγικά και χρήσιμα ως γνώση, αλλά και ασυζητητί πολύτιμα ως εφόδιο αντιμετώπισης των γρίφων και της ζωής.

T. K.

Δομώντας τη μαθηματική σκέψη

PIERRE M. VAN HIELE

Δομή και Διορατικότητα,
Μια θεωρία για τη Μαθηματική Εκπαίδευση

Εκδόσεις Liberal Books, 2011,
σελ. 313, τιμή 30 ευρώ

Ο Pierre van Hiele ξεκίνησε ως δάσκαλος στην Ολλανδία και μαζί με τη σύζυγό του στη διάρκεια της δεκαετίας του 1950 προσπάθησαν να λύσουν ένα κλασικό «πρόβλημα της Γεωμετρίας». Διδακτικό όμως και όχι καθαρά μαθηματικό. Το πώς δηλαδή θα μπορέσουν οι μικροί μαθητές και μαθήτριες να μαθαίνουν τη Γεωμετρία. Η αναζήτηση αυτή συνεχίστηκε για αρκετές δεκαετίες και το υλικό των ερευνών τους έγινε και βιβλίο που εμφανίστηκε το 1986. Σε αυτό συνοψίζεται το πού κατέληξε η όλη αναζήτηση. Τις θεωρίες του ζεύγους ασπάστηκαν και στην πρώην Σοβιετική Ενωση παλαιότερα και αρκετά αργότερα στις Ηνωμένες Πολιτείες. Στη ρίζα της υπάρχει η έννοια της διορατικότητας και με τον όρο αυτόν, όπως αναφέρει στην κατατοπιστική εισαγωγή της η Ευγενία Κολέζα, καθηγήτρια στο Πανεπιστήμιο Πατρών, εννοούμε «την ικανότητα να βλέπεις και να κατανοείς την εσωτερική φύση των πραγμάτων, ιδιαίτερα μέσω της διαίσθησης» (κατά το λεξικό Webster). Η διορατικότητα στην περίπτωση των μαθηματικών προβλημάτων, ως προς τη λύση τους, συνδέεται με την ικανότητά μας για αναδόμηση του προβλήματος. Oπως αναφέρεται δηλαδή και στο βιβλίο, η ικανότητα αναδόμησης ενός προβλήματος είναι ένδειξη διορατικότητας και συνδέεται με τη λύση του. Η λύση λοιπόν γεωμετρικών προβλημάτων κατά τη θεωρία Van Hiele συνδέεται με τη διορατικότητα και αυτή με τη σειρά της με τη δομή, αφού από την άγνοια φθάνουμε στη γνώση, δηλαδή στη λύση, ξαφνικά, με την κατανόηση να προκύπτει από μια νοητική αλλαγή εκ μέρους μας στην αντιμετώπιση της δομής του προβλήματος. «Η δομή απαλλάσσει τους ανθρώπους και τα ζώα από μια ατέρμονη ζωή δοκιμής και πλάνης (trial and error). Η δομή δίνει στους ανθρώπους τη δυνατότητα να κατανοούν ο ένας τον άλλον». Κατά τον Van Hiele, οι δάσκαλοι στα Μαθηματικά, που είναι και βασικό πεδίο εξάσκησης ως προς τη διορατικότητα, θα πρέπει να στοχεύουν ακριβώς σε αυτή την ανάπτυξη της διορατικότητας στους μαθητές τους. Κάτι που γίνεται περνώντας από το ένα επίπεδο σκέψης στο επόμενο μαθαίνοντας για τις δομές. Περνώντας δηλαδή από τη δομή στη δόμηση, δηλαδή σε έναν πιο ενεργητικό ρόλο από τους ίδιους τους μαθητές και όχι με την αποστήθιση μεμονωμένων γεγονότων και δεδομένων. Σύμφωνα με την προσωπική ανάγνωση του βιβλίου, το να πεις ότι «το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι…» και να «πετάξεις» τον τύπο για το άθροισμα τετραγώνων των πλευρών αποτελεί μία πέτρα στο νερό που δεν θα βάλει σε κίνηση το μυαλό του μικρού μαθητή. Η δε διαδικασία της δόμησης στην περίπτωση των μαθηματικών εννοιών αποκτάται σταδιακά σε επίπεδα. Η μετάβαση από το ένα επίπεδο στο άλλο δεν είναι φυσική διαδικασία, αλλά λαμβάνει χώρα κάτω από την επίδραση ενός προγράμματος διδασκαλίας. Εννοείται πως η Γεωμετρία είναι το ιδανικό πεδίο δοκιμής μιας τέτοιας θεωρίας, χωρίς όμως να περιορίζονται οι προτάσεις του Van Hiele μόνο σε αυτήν. Eχει εκφραστεί και η άποψη ότι όλα αυτά αποτελούν αναμάσημα των θεωριών του Piaget και των στρουκτουραλιστών με βασικές αντιρρήσεις, όπως και για εκείνες τις δυσκολίες να φανούν εντελώς καθαρά τα διάφορα επίπεδα προσέγγισης των γεωμετρικών εννοιών από τα παιδιά. Για έναν εκπαιδευτικό εδώ στην Ελλάδα υπάρχει βέβαια ο περιορισμός από το διδακτικό πρόγραμμα που ελαττώνει πολύ την ύλη της Γεωμετρίας, αλλά η διδασκαλία της είναι ένα πολύ ουσιαστικό θέμα. Το βιβλίο αν και γράφτηκε το 1986 δίνει χρήσιμα στοιχεία για όποιον προβληματίζεται με το πώς θα διδάξει μια νέα μαθηματική έννοια σε κάποιον που έχει ως εκείνη τη στιγμή πλήρη άγνοια. Επίσης η σύνδεση της δομής με τη διορατικότητα είναι κάτι που μπορεί να το συναντήσεις και σήμερα σε επεξεργασίες δεδομένων από τις υπολογιστικές μηχανές και σε ακόμη πιο «απόκρυφες» επιστημονικές προσεγγίσεις της πραγματικότητας, όπως η δόμηση κτιρίων με βάση τις θεωρίες περί δομής του αρχιτέκτονα Christopher Alexander. Πρόκειται για βιβλίο πυκνογραμμένο και χρήσιμο.

A. Γ.